Zadanie na dowód nierówności

[salvia_palth]

Hej, mam zadanie z "Kiełbasy" na dowód. Zrobiłem je, lecz nigdzie nie widzę metody, którą ja spróbowałem je rozwiązać i chciałbym się dowiedzieć, czy jest ona poprawna w 100%.

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ x + y + z =0}\), to \(\displaystyle{ xy + yz + zx \le 0}\).

\(\displaystyle{ x = -y-z}\)

\(\displaystyle{ (-y-z)y + yz + z(-y-z) \le 0}\)
\(\displaystyle{ -y^{2} - yz + yz - yz - z^{2} \le 0}\)
\(\displaystyle{ -y^{2} - yz - z^{2} \le 0 / * (-1)}\)
\(\displaystyle{ y^{2} + yz + z^{2} \ge 0 / * 2}\)
\(\displaystyle{ 2y^{2} + 2yz + 2z^{2} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ y^{2} + y^{2} + 2yz + z^{2} + z^{2} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ (y + z)^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 0}\)

Suma kwadratów jakichkolwiek liczb będzie zawsze większa lub równa 0.

Czy jest to poprawny sposób?

[a4karo]

Jest poprawnie.

Kilka innych możliwości:

1: \(\displaystyle{ 0=(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yx+zx)}\)
Skąd \(\displaystyle{ 2(xy+yz+zx)=-(x^2+y^2+z^2)\leq 0}\)

2: Niech `y` ma największą wartość bezwzględną spośród tych liczb. Wtedy
\(\displaystyle{ xy+yz+zx=xy+yz+y^2-y^2+zx=-y^2+zx\leq 0 \cdot }\), bo \(\displaystyle{ |zx|\leq |y^2|}\)

3. Liczby `x,y,z` sa pierwiastkami wielomianu `w(t)=(t-x)(t-y)(t-z)=t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz=t^3+(xy+yz+zx)t-xyz`

Ten wielomian ma trzy pierwiastki, więc jego pochodna `w'(t)=3t^2+(xy+yz+zx)` ma dwa pierwiastki, a to jest możliwe tylko gdy wyrażenie w nawiasie jest niedodatnie