Doprowadź do najprostszej postaci
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 2 paź 2020, o 11:02
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 7 razy
Doprowadź do najprostszej postaci
Witam,
Cwiczenie - sprowadź do najprostszej postaci:
\(\displaystyle{ (y-\sqrt{5})(y^{2}+5)(y+\sqrt{5})}\)
\(\displaystyle{ y^{3}+5y-\sqrt{5}y^{2}-\sqrt{25}(y+\sqrt{5})=\\=y^{4}+\sqrt{5}y^{3}+5y^{2}+\sqrt{25}y-\sqrt{5}y^{3}-\sqrt{25}y^{2}-\sqrt{25}y-\sqrt{125}=\\=y^{4}+5y^{2}-\sqrt{25}y^{2}-\sqrt{125}=y^{4}+5y^{2}-5y^{2}-\sqrt{125}=y^{4}-\sqrt{125}}\)
\(\displaystyle{ y^{4}-\sqrt{25}\cdot\sqrt{5}=y^{4}-5\sqrt{5}}\)
Rozwiązanie książkowe:
\(\displaystyle{ y^{4}-25}\)
Gdzie robię błąd?
Pozdrawiam
Cwiczenie - sprowadź do najprostszej postaci:
\(\displaystyle{ (y-\sqrt{5})(y^{2}+5)(y+\sqrt{5})}\)
\(\displaystyle{ y^{3}+5y-\sqrt{5}y^{2}-\sqrt{25}(y+\sqrt{5})=\\=y^{4}+\sqrt{5}y^{3}+5y^{2}+\sqrt{25}y-\sqrt{5}y^{3}-\sqrt{25}y^{2}-\sqrt{25}y-\sqrt{125}=\\=y^{4}+5y^{2}-\sqrt{25}y^{2}-\sqrt{125}=y^{4}+5y^{2}-5y^{2}-\sqrt{125}=y^{4}-\sqrt{125}}\)
\(\displaystyle{ y^{4}-\sqrt{25}\cdot\sqrt{5}=y^{4}-5\sqrt{5}}\)
Rozwiązanie książkowe:
\(\displaystyle{ y^{4}-25}\)
Gdzie robię błąd?
Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 4 paź 2020, o 17:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 926
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 274 razy
Re: Doprowadź do najprostszej postaci
Wynik mnożenia \(\displaystyle{ (y-\sqrt{5})(y^{2}+5)}\) powinien być w nawiasach:
\(\displaystyle{ (y^{3}+5y-\sqrt{5}y^{2}-5\sqrt{5}).}\)
Jeśli mnożymy \(\displaystyle{ 5y}\) przez \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) to wynikiem mnożenia jest \(\displaystyle{ 5 \sqrt{5} y}\) a nie \(\displaystyle{ \sqrt{25}y}\) gdyż to jest równe \(\displaystyle{ 5y.}\)
Możemy \(\displaystyle{ \sqrt{25}}\) zapisać jako \(\displaystyle{ \sqrt{5 \cdot 5} }\) co jest równe \(\displaystyle{ 5.}\)
Mnożenie jest przemienne. W tym przypadku jest wygodnie najpierw pomnożyć pierwsze wyrażenie algebraiczne przez trzecie: \(\displaystyle{ (y-\sqrt{5})(y+\sqrt{5}).}\) Ułatwimy sobie i skorzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ (a-b)(a+b)=a^2-b^2}\). Mamy zatem:
\(\displaystyle{ (y-\sqrt{5})(y+\sqrt{5})=y^2 - (\sqrt{5})^2= y^2 - 5.}\)
Zatem możemy zapisać:
\(\displaystyle{ (y-\sqrt{5})(y^{2}+5)(y+\sqrt{5}) \\
=(y^2 - (\sqrt{5})^2)(y^{2}+5) \\
= (y^2 - 5)(y^{2} + 5) \\
= (y^2)^2 - 5^2 \\
= y^4 -25}\)
\(\displaystyle{ (y^{3}+5y-\sqrt{5}y^{2}-5\sqrt{5}).}\)
Jeśli mnożymy \(\displaystyle{ 5y}\) przez \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) to wynikiem mnożenia jest \(\displaystyle{ 5 \sqrt{5} y}\) a nie \(\displaystyle{ \sqrt{25}y}\) gdyż to jest równe \(\displaystyle{ 5y.}\)
Możemy \(\displaystyle{ \sqrt{25}}\) zapisać jako \(\displaystyle{ \sqrt{5 \cdot 5} }\) co jest równe \(\displaystyle{ 5.}\)
Mnożenie jest przemienne. W tym przypadku jest wygodnie najpierw pomnożyć pierwsze wyrażenie algebraiczne przez trzecie: \(\displaystyle{ (y-\sqrt{5})(y+\sqrt{5}).}\) Ułatwimy sobie i skorzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ (a-b)(a+b)=a^2-b^2}\). Mamy zatem:
\(\displaystyle{ (y-\sqrt{5})(y+\sqrt{5})=y^2 - (\sqrt{5})^2= y^2 - 5.}\)
Zatem możemy zapisać:
\(\displaystyle{ (y-\sqrt{5})(y^{2}+5)(y+\sqrt{5}) \\
=(y^2 - (\sqrt{5})^2)(y^{2}+5) \\
= (y^2 - 5)(y^{2} + 5) \\
= (y^2)^2 - 5^2 \\
= y^4 -25}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 2 paź 2020, o 11:02
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 7 razy
Re: Doprowadź do najprostszej postaci
Wszystko rozumiem poza tym: tzn - źródło, dla którego tak się dzieje?
Tzn. jeżeli mnożymy np.
\(\displaystyle{ \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5 \cdot 5}}\)
.. to znaczy, ze jeżeli mnożymy:
\(\displaystyle{ 5y \cdot \sqrt{5}}\)
.. to jak to mnożenie wyglada po kolei? Co przez co i dlaczego na końcu jest jak mówisz?
Ostatnio zmieniony 4 paź 2020, o 01:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Doprowadź do najprostszej postaci
Źródło jest takie, że mnożenie jest przemienne
JK
\(\displaystyle{ 5y \cdot \sqrt{5}=5\cdot y \cdot \sqrt{5}=5\cdot \sqrt{5}\cdot y=5\sqrt{5}y }\)Matema-tik pisze: ↑3 paź 2020, o 23:16.. to znaczy, ze jeżeli mnożymy:
\(\displaystyle{ 5y \cdot \sqrt{5}}\)
.. to jak to mnożenie wyglada po kolei? Co przez co i dlaczego na końcu jest jak mówisz?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 926
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 274 razy
Re: Doprowadź do najprostszej postaci
Pierwiastkowanie jest operacją odwrotną do potęgowania:
\(\displaystyle{ 2^2 = 2 \times 2 = 4 \ \text{to } \sqrt{4} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \\
3^2 = 3 \times 3 = 9 \ \text{to } \sqrt{9} = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \\
4^2 = 4 \times 4 = 16 \ \text{to } \sqrt{16} = \sqrt{4} \times \sqrt{4} = 4}\)
Przykład:
\(\displaystyle{ \sqrt{6} \times \sqrt{24} = \sqrt{6 \times 24} = \sqrt{144} = \sqrt{12 \times 12} = 12 \\
\sqrt{144} = \sqrt{9 \times 16} = \sqrt{9} \times \sqrt{16} = \sqrt{3^2} \times \sqrt{4^2} = 3 \times 4 = 12}\)
Jeśli spytałbyś, dlaczego iloczyn zapisałem jako \(\displaystyle{ 5 \sqrt{5} y,}\) a nie jako np.: \(\displaystyle{ 5y \sqrt{5}.}\) To odpowiedź jest równie prosta: z nawyku, z luźno przyjętej konwencji. Jeśli przekształcenia algebraiczne zapiszemy w czytelny, przejrzysty i uporządkowany sposób to trudniej jest nam popełniać błędy oraz łatwiej na nich operować.
\(\displaystyle{ 2^2 = 2 \times 2 = 4 \ \text{to } \sqrt{4} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \\
3^2 = 3 \times 3 = 9 \ \text{to } \sqrt{9} = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \\
4^2 = 4 \times 4 = 16 \ \text{to } \sqrt{16} = \sqrt{4} \times \sqrt{4} = 4}\)
Przykład:
\(\displaystyle{ \sqrt{6} \times \sqrt{24} = \sqrt{6 \times 24} = \sqrt{144} = \sqrt{12 \times 12} = 12 \\
\sqrt{144} = \sqrt{9 \times 16} = \sqrt{9} \times \sqrt{16} = \sqrt{3^2} \times \sqrt{4^2} = 3 \times 4 = 12}\)
Jeśli spytałbyś, dlaczego iloczyn zapisałem jako \(\displaystyle{ 5 \sqrt{5} y,}\) a nie jako np.: \(\displaystyle{ 5y \sqrt{5}.}\) To odpowiedź jest równie prosta: z nawyku, z luźno przyjętej konwencji. Jeśli przekształcenia algebraiczne zapiszemy w czytelny, przejrzysty i uporządkowany sposób to trudniej jest nam popełniać błędy oraz łatwiej na nich operować.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Doprowadź do najprostszej postaci
Ja mam pytanie. Czy to jest dobrze przepisane, czy jedna linijka to jedno działanie? Czy jest to jedno działanie rozdzielone na wiele linijek?
-
- Użytkownik
- Posty: 926
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 274 razy
Re: Doprowadź do najprostszej postaci
W pierwszej linijce jest podany przykład a w drugiej linijce, jest pokazany inny sposób policzenia tego pierwiastka, w tym przypadku:\(\displaystyle{ \sqrt{144}.}\)
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Doprowadź do najprostszej postaci
To tylko nieszczęśliwy sposób użycia LaTeXa. Już to poprawiłem.
JK
JK