Doprowadź do najprostszej postaci

[Matema-tik]

Witam,

Cwiczenie - sprowadź do najprostszej postaci:

\(\displaystyle{ (y-\sqrt{5})(y^{2}+5)(y+\sqrt{5})}\)

\(\displaystyle{ y^{3}+5y-\sqrt{5}y^{2}-\sqrt{25}(y+\sqrt{5})=\\=y^{4}+\sqrt{5}y^{3}+5y^{2}+\sqrt{25}y-\sqrt{5}y^{3}-\sqrt{25}y^{2}-\sqrt{25}y-\sqrt{125}=\\=y^{4}+5y^{2}-\sqrt{25}y^{2}-\sqrt{125}=y^{4}+5y^{2}-5y^{2}-\sqrt{125}=y^{4}-\sqrt{125}}\)

\(\displaystyle{ y^{4}-\sqrt{25}\cdot\sqrt{5}=y^{4}-5\sqrt{5}}\)


Rozwiązanie książkowe:

\(\displaystyle{ y^{4}-25}\)

Gdzie robię błąd?

Pozdrawiam

[Elayne]

Wynik mnożenia \(\displaystyle{ (y-\sqrt{5})(y^{2}+5)}\) powinien być w nawiasach:
\(\displaystyle{ (y^{3}+5y-\sqrt{5}y^{2}-5\sqrt{5}).}\)
Jeśli mnożymy \(\displaystyle{ 5y}\) przez \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) to wynikiem mnożenia jest \(\displaystyle{ 5 \sqrt{5} y}\) a nie \(\displaystyle{ \sqrt{25}y}\) gdyż to jest równe \(\displaystyle{ 5y.}\)
Możemy \(\displaystyle{ \sqrt{25}}\) zapisać jako \(\displaystyle{ \sqrt{5 \cdot 5} }\) co jest równe \(\displaystyle{ 5.}\)

Mnożenie jest przemienne. W tym przypadku jest wygodnie najpierw pomnożyć pierwsze wyrażenie algebraiczne przez trzecie: \(\displaystyle{ (y-\sqrt{5})(y+\sqrt{5}).}\) Ułatwimy sobie i skorzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ (a-b)(a+b)=a^2-b^2}\). Mamy zatem:
\(\displaystyle{ (y-\sqrt{5})(y+\sqrt{5})=y^2 - (\sqrt{5})^2= y^2 - 5.}\)
Zatem możemy zapisać:
\(\displaystyle{ (y-\sqrt{5})(y^{2}+5)(y+\sqrt{5}) \\
=(y^2 - (\sqrt{5})^2)(y^{2}+5) \\
= (y^2 - 5)(y^{2} + 5) \\
= (y^2)^2 - 5^2 \\
= y^4 -25}\)

[Matema-tik]

Jeśli mnożymy \(\displaystyle{ 5y}\) przez \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) to wynikiem mnożenia jest \(\displaystyle{ 5 \sqrt{5} y}\)

Wszystko rozumiem poza tym: tzn - źródło, dla którego tak się dzieje?

Tzn. jeżeli mnożymy np.
\(\displaystyle{ \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5 \cdot 5}}\)
.. to znaczy, ze jeżeli mnożymy:
\(\displaystyle{ 5y \cdot \sqrt{5}}\)
.. to jak to mnożenie wyglada po kolei? Co przez co i dlaczego na końcu jest jak mówisz?

[Jan Kraszewski]

Źródło jest takie, że mnożenie jest przemienne

.. to znaczy, ze jeżeli mnożymy:
\(\displaystyle{ 5y \cdot \sqrt{5}}\)
.. to jak to mnożenie wyglada po kolei? Co przez co i dlaczego na końcu jest jak mówisz?

\(\displaystyle{ 5y \cdot \sqrt{5}=5\cdot y \cdot \sqrt{5}=5\cdot \sqrt{5}\cdot y=5\sqrt{5}y }\)

JK

[Elayne]

Pierwiastkowanie jest operacją odwrotną do potęgowania:
\(\displaystyle{ 2^2 = 2 \times 2 = 4 \ \text{to } \sqrt{4} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \\
3^2 = 3 \times 3 = 9 \ \text{to } \sqrt{9} = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \\
4^2 = 4 \times 4 = 16 \ \text{to } \sqrt{16} = \sqrt{4} \times \sqrt{4} = 4}\)

Przykład:
\(\displaystyle{ \sqrt{6} \times \sqrt{24} = \sqrt{6 \times 24} = \sqrt{144} = \sqrt{12 \times 12} = 12 \\
\sqrt{144} = \sqrt{9 \times 16} = \sqrt{9} \times \sqrt{16} = \sqrt{3^2} \times \sqrt{4^2} = 3 \times 4 = 12}\)

Jeśli spytałbyś, dlaczego iloczyn zapisałem jako \(\displaystyle{ 5 \sqrt{5} y,}\) a nie jako np.: \(\displaystyle{ 5y \sqrt{5}.}\) To odpowiedź jest równie prosta: z nawyku, z luźno przyjętej konwencji. Jeśli przekształcenia algebraiczne zapiszemy w czytelny, przejrzysty i uporządkowany sposób to trudniej jest nam popełniać błędy oraz łatwiej na nich operować.

[Niepokonana]

Ja mam pytanie. Czy to jest dobrze przepisane, czy jedna linijka to jedno działanie? Czy jest to jedno działanie rozdzielone na wiele linijek?

[Elayne]

W pierwszej linijce jest podany przykład a w drugiej linijce, jest pokazany inny sposób policzenia tego pierwiastka, w tym przypadku:\(\displaystyle{ \sqrt{144}.}\)

[Niepokonana]

Chodzi mi o pierwszy post w temacie.

[Jan Kraszewski]

To tylko nieszczęśliwy sposób użycia LaTeXa. Już to poprawiłem.

JK