Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3xyz - x^2-y^2-z^2 =b^3 \\ x+y+z=2b \\ x^2+y^2-z^2=b^2 \end{cases}}\)
Układ z parametrem
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11409
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Układ z parametrem
Podstawiając w pierwszym i trzecim równaniu \(\displaystyle{ z=2b-(x+y)}\), otrzymujemy równoważny wyjściowemu układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3xy(2b-x-y)-x^2-y^2-(2b-x-y)^2=b^3\\z=2b-(x+y)\\x^{2}+y^{2}-(2b-x-y)^{2}=b^{2}\end{cases}}\)
a dalej
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3xy(2b-x-y)-(x+y)^2+2xy-(2b-x-y)^2=b^3\\z=2b-(x+y)\\(x+y)^2-2xy-(2b-x-y)^{2}=b^{2}\end{cases}}\)
Wprowadźmy nowe zmienne \(\displaystyle{ p=x+y, \ q=xy}\) i układ przyjmuje formę:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3q(2b-p)-p^2+2q-(2b-p)^2=b^3\\z=2b-p\\p^2-2q-(2b-p)^{2}=b^{2}\end{cases}}\)
Z ostatniego równania możemy łatwo wyznaczyć
\(\displaystyle{ q=\frac{1}{2}\left(p^2-b^2-(2b-p)^2\right)=\frac{4bp-5b^{2}}{2}}\). Podstawiamy to do pierwszego równania i dostajemy równanie (co najwyżej) drugiego stopnia ze względu na zmienną \(\displaystyle{ p}\), a mianowicie
\(\displaystyle{ \frac{3}{2}\left(4bp-5b^{2}\right)(2b-p)-p^{2}+4bp-5b^{2}-(2b-p)^{2}=b^{3}}\)
a po uproszczeniu i pomnożeniu stronami przez dwa:
\(\displaystyle{ (-12b-4)p^2+\left(16b+39b^{2}\right)p-18b^2-32b^3=0}\)
Mamy szczególny przypadek \(\displaystyle{ b=-3}\), w którym równanie jest pierwszego stopnia ze względu na \(\displaystyle{ p}\) i otrzymujemy wtedy
\(\displaystyle{ p=\frac{342}{101}}\), a poza tym przypadkiem mamy po prostu do czynienia z równaniem kwadratowym, liczymy wyróżnik i tyle.
A gdy mamy już obliczone wartości \(\displaystyle{ p=x+y, \ q=xy}\), to obliczenie \(\displaystyle{ x,y}\) jest kwestią rozwiązania kolejnego równania kwadratowego, mianowicie \(\displaystyle{ x^2-px+q=0}\), co już zostawiam.
Tak to się daje spałować, a zważywszy na to, co wypluł mi wolfram, domyślam się, że eleganckie rozwiązanie nie istnieje (acz pewności nie mam).
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3xy(2b-x-y)-x^2-y^2-(2b-x-y)^2=b^3\\z=2b-(x+y)\\x^{2}+y^{2}-(2b-x-y)^{2}=b^{2}\end{cases}}\)
a dalej
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3xy(2b-x-y)-(x+y)^2+2xy-(2b-x-y)^2=b^3\\z=2b-(x+y)\\(x+y)^2-2xy-(2b-x-y)^{2}=b^{2}\end{cases}}\)
Wprowadźmy nowe zmienne \(\displaystyle{ p=x+y, \ q=xy}\) i układ przyjmuje formę:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3q(2b-p)-p^2+2q-(2b-p)^2=b^3\\z=2b-p\\p^2-2q-(2b-p)^{2}=b^{2}\end{cases}}\)
Z ostatniego równania możemy łatwo wyznaczyć
\(\displaystyle{ q=\frac{1}{2}\left(p^2-b^2-(2b-p)^2\right)=\frac{4bp-5b^{2}}{2}}\). Podstawiamy to do pierwszego równania i dostajemy równanie (co najwyżej) drugiego stopnia ze względu na zmienną \(\displaystyle{ p}\), a mianowicie
\(\displaystyle{ \frac{3}{2}\left(4bp-5b^{2}\right)(2b-p)-p^{2}+4bp-5b^{2}-(2b-p)^{2}=b^{3}}\)
a po uproszczeniu i pomnożeniu stronami przez dwa:
\(\displaystyle{ (-12b-4)p^2+\left(16b+39b^{2}\right)p-18b^2-32b^3=0}\)
Mamy szczególny przypadek \(\displaystyle{ b=-3}\), w którym równanie jest pierwszego stopnia ze względu na \(\displaystyle{ p}\) i otrzymujemy wtedy
\(\displaystyle{ p=\frac{342}{101}}\), a poza tym przypadkiem mamy po prostu do czynienia z równaniem kwadratowym, liczymy wyróżnik i tyle.
A gdy mamy już obliczone wartości \(\displaystyle{ p=x+y, \ q=xy}\), to obliczenie \(\displaystyle{ x,y}\) jest kwestią rozwiązania kolejnego równania kwadratowego, mianowicie \(\displaystyle{ x^2-px+q=0}\), co już zostawiam.
Tak to się daje spałować, a zważywszy na to, co wypluł mi wolfram, domyślam się, że eleganckie rozwiązanie nie istnieje (acz pewności nie mam).