Potęgowanie

[Belf]

Mam pytanie, czy jesli:

\(\displaystyle{ \frac{3^5}{5^2}= \frac{3^m}{5^n} }\), wynika jednoznacznie,że: \(\displaystyle{ m = 5 \ i \ n=2}\) ?

[kerajs]

Nie.
Kontrprzykład:
\(\displaystyle{ m=5+\log_3x \wedge n=2+\log_5x}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\)

[Thingoln]

Jeśli \(\displaystyle{ m, n}\) są liczbami naturalnymi, to tak. Przekształcając równanie, dostajemy: \(\displaystyle{ 3^5 \cdot 5^n = 5^2 \cdot 3^m}\). Jako że \(\displaystyle{ \NWD(3^5, 5^2) = 1}\), mamy, że \(\displaystyle{ 3^5 | 3^m}\). Podobnie rozpatrując z drugiej strony: \(\displaystyle{ \NWD(3^m, 5^n) = 1}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ m, n \in \mathbb{N}}\), a więc \(\displaystyle{ 3^m | 3^5}\). Łącząc oba te wnioski, dostajemy, że \(\displaystyle{ 3^m = 3^5}\), a z różnowartościowości funkcji \(\displaystyle{ f(x) = 3^x}\) wynika, że \(\displaystyle{ m = 5}\). Podobnie z piątką.

[Bran]

Nie.
Kontrprzykład:
\(\displaystyle{ m=5+\log_3x \wedge n=2+\log_5x}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\)

Mógłbyś rozwinąć/wyjaśnić? Jakoś nie wydaje mi się to być prawda - nie rozumiem dlaczego tak.

[AiDi]

Podstaw to do wyjściowej równości i zobacz co Ci wyjdzie.