Dlaczego ta liczba jest nierzeczywista?

[cmnstrnbnn]

Witam, bez zbędnego pisania, dlaczego liczba

\(\displaystyle{ (-\sqrt{2}) ^{-\sqrt{2}} }\)

jest nierzeczywista? Dodatkowo nasuwa się pytanie, dla jakich x, liczba \(\displaystyle{ x^{x}}\) jest rzeczywista?

[Dilectus]

Czy liczbę ujemną można podnieść do potęgi niewymiernej?

[Jan Kraszewski]

Ja bym się zapytał, co według Ciebie oznacza zapis

\(\displaystyle{ (-\sqrt{2}) ^{-\sqrt{2}} }\).

JK

[Niepokonana]

\(\displaystyle{ (-\sqrt{2}) ^{-\sqrt{2}} }\).

Panie doktorze, czy ja to dobrze rozumuję? Podstawa potęgi jest liczbą ujemną a wykładnik jest jakimś ułamkiem. Niewymiernym, ale ułamkiem, a jak mamy w wykładniku ułamek to mamy pierwiastkowanie np.\(\displaystyle{ x^ \frac{1}{2}= \sqrt{x} }\). Czyli po prostu mamy pierwiastek z liczby ujemnej, co jest liczbą nierzeczywistą.

[cmnstrnbnn]

Czy liczbę ujemną można podnieść do potęgi niewymiernej?

Powiem szczerze, nikt nigdy mi tego w szkole nie powiedział, a samemu nigdy nad tym nie myślałem.

Dodano po 7 minutach 22 sekundach:

Ja bym się zapytał, co według Ciebie oznacza zapis

\(\displaystyle{ (-\sqrt{2}) ^{-\sqrt{2}} }\).

JK

Podnoszę liczbę \(\displaystyle{ -\sqrt{2}}\) do potęgi \(\displaystyle{ -\sqrt{2}}\)

Przekształcając mam \(\displaystyle{ \Biggl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\Biggr) ^{\sqrt{2}} }\), a więc mnożę liczbę \(\displaystyle{ -\frac{\sqrt{2}}{2} }\), \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) razy przez samą siebie. Tylko nadal nie mam pojęcia, gdzie tutaj zachodzi problem

[Dilectus]

Przekształcając mam \(\displaystyle{ \Biggl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\Biggr) ^{\sqrt{2}} }\), a więc mnożę liczbę \(\displaystyle{ -\frac{\sqrt{2}}{2} }\), \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) razy przez samą siebie. Tylko nadal nie mam pojęcia, gdzie tutaj zachodzi problem

To pokaż, jak mnożysz przez siebie liczbę \(\displaystyle{ \displaystyle{ -\frac{\sqrt{2}}{2} } \quad}\) \(\displaystyle{ 1,4142135623730950488016887242097}\) razy.

[cmnstrnbnn]

To pokaż, jak mnożysz przez siebie liczbę \(\displaystyle{ \displaystyle{ -\frac{\sqrt{2}}{2} } \quad}\) \(\displaystyle{ 1,4142135623730950488016887242097}\) razy.

\(\displaystyle{ \Biggl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\Biggr) ^{\sqrt{2}}=\Biggl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\Biggr) \cdot \Biggl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\Biggr) ^{\sqrt{2}-1} }\)

Domyślam się, że chodzi o to, że \(\displaystyle{ 0 < \sqrt{2}-1 < 1}\) to jakaś liczba niewymierna, która powinna tutaj doprowadzić do odpowiedzi na moje pytanie. Przeczuwam o co chodzi, ale nie na tyle, by być w stanie odpowiedzieć dla jakich x liczba \(\displaystyle{ x^{x}}\) jest nierzeczywista

[Dilectus]

To pokaż, jak mnożysz przez siebie liczbę \(\displaystyle{ \displaystyle{ -\frac{\sqrt{2}}{2} } \quad}\) \(\displaystyle{ 1,4142135623730950488016887242097}\) razy.

\(\displaystyle{ \Biggl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\Biggr) ^{\sqrt{2}}=\Biggl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\Biggr) \cdot \Biggl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\Biggr) ^{\sqrt{2}-1} }\)

to nie jest dobra odpowiedź.

[cmnstrnbnn]

to nie jest dobra odpowiedź.

To już poważnie nie mam pojęcia. Jedyny pomysł jaki mam to to

[janusz47]

Dlatego liczba \(\displaystyle{ (-\sqrt{2})^{-\sqrt{2}} }\) nie jest rzeczywista, bo

\(\displaystyle{ (-\sqrt{2})^{-\sqrt{2}} = (-1)^{-\sqrt{2}}\cdot (\sqrt{2})^{-\sqrt{2}} \ \ (1) }\)

a liczba \(\displaystyle{ ( -1)^{-\sqrt{2}} = 1\cdot e^{-i\sqrt{2}\cdot \pi} \ \ (2) }\)

nie jest liczbą rzeczywistą tylko zespoloną.

Z \(\displaystyle{ (1), (2) }\)

\(\displaystyle{ (-\sqrt{2})^{-\sqrt{2}} = 2^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot e^{-i\sqrt{2}\cdot \pi} = 2^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\left[ \cos(\sqrt{2}\pi \right) - i\sin\left(\sqrt{2}\pi) \right] =...}\)

[a4karo]

Jak nie jest, jak jest:
\(\displaystyle{ (-\sqrt2)^{-\sqrt2}=(-\sqrt2)^{-\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2}}=\left((-\sqrt2)^{-2}\right)^{\frac{1}{\sqrt2}}=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{\sqrt2}}}\)

Ukryta treść:    

Te "rachunki" pokazują oczywiście jak stosowanie regułek poza obszarem ich stosowalności prowadzi do bezsensownych wniosków

[Dilectus]

Policzmy dalej (na kalkulatorze):

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{\sqrt2}} \approx 0,3752}\)

[Niepokonana]

Wolfram mówi, że ta liczba faktycznie jest nierzeczywista.

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-sqrt%282%29%29%5E%28-sqrt%282%29%29

Ja uważam, że po prostu taka liczba to liczba ujemna podniesiona do potęgi o wykładniku ułamkowym czyli mamy pierwiastek z liczby ujemnej. Aczkolwiek ja się nie znam.

[janusz47]

\(\displaystyle{ (-\sqrt{2})^{-2} \neq \frac{1}{4}. }\)

[cmnstrnbnn]

Czyli to oznacza, że jeżeli \(\displaystyle{ x<0 \wedge (x }\) jest niewymierne \(\displaystyle{ \vee }\) \(\displaystyle{ x= \frac{p}{q}}\), gdzie p i q to liczby całkowite względnie pierwsze, \(\displaystyle{ q \neq}\) 0, oraz \(\displaystyle{ 2|q}\)), to wtedy liczba \(\displaystyle{ x^{x}}\) jest nierzeczywista?