Równanie dwukwadratowe

[nice1233]

Zbadaj równanie \(\displaystyle{ ax^4+bx^2+c=m}\) zależności od parametru m.


Równanie dwukwadratowe w postaci \(\displaystyle{ ax^4+bx^2+c=0}\)
po podstawieniu \(\displaystyle{ t=x^2 \:\: i \: \: t \ge 0}\)

otrzymujemy równanie kwadratowe

\(\displaystyle{ at^2 + bt+c =0 }\)

Równanie to ma:

- 0 rozwiązań, wtedy gdy
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=0 \\ b = 0 \\ c \neq 0 \end{cases}}\)
lub
\(\displaystyle{ \begin{cases} a \neq 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}}\)
lub
\(\displaystyle{ \begin{cases} a \neq 0 \\ \Delta > 0 \\ x_1+x_2<0 \\ x_1x_2>0 \end{cases}}\)

- 2 rozwiązanie, wtedy gdy

\(\displaystyle{ \begin{cases} a \neq 0 \\ \Delta > 0 \\ x_1x_2<0 \end{cases}}\)

lub

\(\displaystyle{ \begin{cases} a \neq 0 \\ \Delta = 0 \\ x_1+x_2 > 0 \\ x_1x_2 > 0 \end{cases}}\)

lub

\(\displaystyle{ \begin{cases} a = 0 \\ b \neq 0 \\ -\frac{b}{c}>0 \end{cases}}\)

-4 rozwiązanie, wtedy gdy

\(\displaystyle{ \begin{cases} a \neq 0 \\ \Delta > 0 \\ x_1+x_2 > 0 \\ x_1x_2 > 0 \end{cases}}\)



Moje pytanie jest takie czy nie zapomniałem jakieś przypadku.

[JHN]

A co będzie, jeśli \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta =0\\ t_0 <0 \end{cases} }\)?
Ponadto równanie dwukwadratowe może mieć trzy rozwiązania... Wystarczy \(\displaystyle{ \begin{cases} t_1=0\\ t_2>0\end{cases} }\)

Pozdrawiam
PS. Najczęściej \(\displaystyle{ t\ne x}\)