Dowód równości

[Bran]

Liczby dodatnie \(\displaystyle{ a,b}\) spełniają równość \(\displaystyle{ a^2 + 2a = 4b^2+4b.}\) Wykaż, że \(\displaystyle{ a = 2b.}\)

Wiem w jaki sposób można to rozwiązać, gdy się jest na maturze, jednak zastanawiam się nad innym podejściem. Przeprowadziłem pewne rozumowanie jednak nie jestem co do niego pewny... Czy może mi ktoś potwierdzić, że jest OK lub pokazać gdzie zrobiłem błąd?

Dowód:
Załóżmy nie wprost, że jeśli liczby dodatnie \(\displaystyle{ a,b}\) spełniają równość \(\displaystyle{ a^2 + 2a = 4b^2+4b,}\) to \(\displaystyle{ a \neq 2b.}\)
Z prawa kontrapozycji mam, że dla dodatnich \(\displaystyle{ a,b}\) jeżeli \(\displaystyle{ a = 2b}\), to \(\displaystyle{ a^2 + 2a \neq 4b^2+4b.}\)
Po prostych przekształceniach:
\(\displaystyle{ a = 2b \Rightarrow a^2 = 4b^2 \Rightarrow a^2 + 2a = 4b^2 + 4b,}\) otrzymujemy sprzeczność.

Znając życie gdzieś zrobiłem coś nielogicznego, więc proszę o analizę.

[Dasio11]

gdzie zrobiłem błąd?

W pierwszym zdaniu:

Załóżmy nie wprost, że jeśli liczby dodatnie \(\displaystyle{ a,b}\) spełniają równość \(\displaystyle{ a^2 + 2a = 4b^2+4b,}\) to \(\displaystyle{ a \neq 2b.}\)

Dowód nie wprost zaczyna się od zanegowania tezy, która w tym zadaniu ma postać implikacji "jeśli \(\displaystyle{ p}\), to \(\displaystyle{ q}\)". Negacją tej tezy nie jest "jeśli \(\displaystyle{ p}\), to nie \(\displaystyle{ q}\)", tylko "\(\displaystyle{ p}\) i nieprawda, że \(\displaystyle{ q}\)".

[Bran]

Czyli powinienem założyć nie wprost, że liczby dodatnie \(\displaystyle{ a,b}\) spełniają równość \(\displaystyle{ a^2+2a = 4b^2+4b}\) i \(\displaystyle{ a \neq 2b}\)?

A potem korzystając z tego, że \(\displaystyle{ a \neq 2b}\) wynika, że \(\displaystyle{ a^2+2a \neq 4b^2+4b}\) doszedłem do sprzeczności z \(\displaystyle{ a^2+2a = 4b^2+4b}\)

[a4karo]

Pytanie jak pokazujesz, że z `a\ne 2b` wynika `a^2+2a\ne 4b^2+4b` (bo to wcale nie jest oczywiste) (np `-2=a\ne 0=b`, a w drugim wyrażeniu jest równość )

[Bran]

Mamy założenie o dodatniości, a jeżeli liczby \(\displaystyle{ a,b}\) są dodatni i \(\displaystyle{ a \neq 2b}\), to wówczas to są nierówności równoważne. Choć przyznam się, że faktycznie mam problem z wyłożeniem tego od podstaw. Mógłbym prosić o wyjaśnienie, jak to zrobić?

[Premislav]

Niech \(\displaystyle{ f:\RR^{+}\rightarrow \RR, \ f(a)=a^{2}+2a}\). Łatwo widać, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją rosnącą jako suma funkcji rosnących w \(\displaystyle{ \RR^{+}: \ f_{1}(a)=a^{2}, \ f_{2}(a)=2a}\). Zatem \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa w \(\displaystyle{ \RR^{+}}\), więc dla argumentów dodatnich każdą wartość przyjmuje najwyżej raz. No a dla \(\displaystyle{ a=2b}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 4b^{2}+4b}\).

[a4karo]

Mamy założenie o dodatniości, a jeżeli liczby \(\displaystyle{ a,b}\) są dodatni i \(\displaystyle{ a \neq 2b}\), to wówczas to są nierówności równoważne. Choć przyznam się, że faktycznie mam problem z wyłożeniem tego od podstaw. Mógłbym prosić o wyjaśnienie, jak to zrobić?

Albo inaczej: dodaj do obu stron jedynkę, zwiń obie strony do kwadratów, a potem uzasadnij, że te kwadraty możesz pominąć