Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{x+ \sqrt{y}} - \sqrt{x- \sqrt{y}} = \sqrt{4x-y} \\ \sqrt{x^2-9}+2=3\sqrt{y-3x+3} \end{cases} }\)
Układ z pierwiastkami
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11360
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Re: Układ z pierwiastkami
\(\displaystyle{ \sqrt{x+ \sqrt{y}} - \sqrt{x- \sqrt{y}} = \sqrt{4x-y} \ \bigg |^2 \\
2x -2\sqrt{x^2-y} =4x-y\\
2\sqrt{x^2-y}=y-2x \ \bigg |^2\\
y(y-4x+4)=0 \ \ \wedge \ \ y-2x \ge 0}\)
a)
\(\displaystyle{ y=0\\
\sqrt{x} - \sqrt{x} = \sqrt{4x} \\
x=0 }\)
Rozwiązanie odrzucone ze względu na \(\displaystyle{ \sqrt{x^2-9} }\)
b)
\(\displaystyle{ y=4x-4\\
\sqrt{x^2-9}+2=3\sqrt{x-1} \\
x^2-9+4\sqrt{x^2-9} +4=9x-9\\
4\sqrt{x^2-9}=9x-4-x^2 \ \bigg |^2 \\
(x-5)(x^3-13x^2+8x-32)=0 \ \ \wedge x \in \left\langle \frac{9- \sqrt{65} }{2} ; \frac{9+ \sqrt{65} }{2} \right\rangle }\)
ponieważ jedyny pierwiastek rzeczywisty z równania sześciennego nie spełnia założenia, to układ ma tylko jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ x=5 \wedge y=16 }\)
2x -2\sqrt{x^2-y} =4x-y\\
2\sqrt{x^2-y}=y-2x \ \bigg |^2\\
y(y-4x+4)=0 \ \ \wedge \ \ y-2x \ge 0}\)
a)
\(\displaystyle{ y=0\\
\sqrt{x} - \sqrt{x} = \sqrt{4x} \\
x=0 }\)
Rozwiązanie odrzucone ze względu na \(\displaystyle{ \sqrt{x^2-9} }\)
b)
\(\displaystyle{ y=4x-4\\
\sqrt{x^2-9}+2=3\sqrt{x-1} \\
x^2-9+4\sqrt{x^2-9} +4=9x-9\\
4\sqrt{x^2-9}=9x-4-x^2 \ \bigg |^2 \\
(x-5)(x^3-13x^2+8x-32)=0 \ \ \wedge x \in \left\langle \frac{9- \sqrt{65} }{2} ; \frac{9+ \sqrt{65} }{2} \right\rangle }\)
ponieważ jedyny pierwiastek rzeczywisty z równania sześciennego nie spełnia założenia, to układ ma tylko jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ x=5 \wedge y=16 }\)