Udowodnij nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną a średnią potęgową

[cmnstrnbnn]

Dowieść, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, ..., a_{n} }\) i naturalnego \(\displaystyle{ n }\) i \(\displaystyle{ k }\) zachodzi nierówność

\(\displaystyle{ \sqrt[k]{ \frac{a_{1}^{k} + a_{2}^{k} + ... + a_{n}^{k} }{n} } \ge \frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} }{n} }\)

[a4karo]

To jest nierówność Jensena dla funkcji `x^k`

[cmnstrnbnn]

Właśnie to samo powiedział mi mój przyjaciel, lecz praktycznie wcale mi to nie pomogło

[a4karo]

Podnieś obie strony do ktej potęgi

[cmnstrnbnn]

Prawdę mówiąc, nadal nic. Poza pomnożeniem później obustronnie przez n, co nic nie dało

[a4karo]

A wiesz jak wygląda nierówność Jensena?

[cmnstrnbnn]

Tak, lecz w praktyce nie potrafię jej zastosować

[a4karo]

Po prostu ja napisz, tyle że zamiast ogólnej funkcji `f` wstaw konkretną funkcję `f(x) =x^k`

[cmnstrnbnn]

Czy to będzie coś w stylu

\(\displaystyle{ \frac{x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + ... + x_{n}^{k} }{n} = \frac{x^k_{1}}{n} + \frac{x^k_{2}}{n} + ... + \frac{x^k_{n}}{n}}\)

\(\displaystyle{ \frac{x^k_{1}}{n} + \frac{x^k_{2}}{n} + ... + \frac{x^k_{n}}{n} \ge \frac{( x_{1} + x_{2} + ... + x_{n})^{k}}{n^{k}} }\)

\(\displaystyle{ f(x)=x^{k}, }\) więc \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} f(x_{i})= \frac{1}{n} \cdot ( x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + ... + x_{n}^{k} ) }\)

\(\displaystyle{ f\biggr( \frac{ \sum_{n}^{i=1} x_i }{n} \biggr)= \frac{( x_{1} + x_{2} + ... + x_{n})^{k}}{n^{k}} }\)

więc \(\displaystyle{ \frac{x^k_{1}}{n} + \frac{x^k_{2}}{n} + ... + \frac{x^k_{n}}{n} \ge \frac{( x_{1} + x_{2} + ... + x_{n})^{k}}{n^{k}} }\) to prawda, bo wynika to z nierówności Jensena cnd?

[a4karo]

Dużo niepotrzebnych rzeczy tu napisałeś, ale ok. Musisz jeszcze udowodnić, że możesz zastosować Jensena czyli musisz pokazać, że ta funkcja potegowa jest wypukła

[cmnstrnbnn]

Tutaj już kompletnie nie mam pomysłu jak tego dokonać

[Jan Kraszewski]

Policzyć drugą pochodną. I pamiętać, że interesują cię argumenty nieujemne.

JK

[cmnstrnbnn]

Dzięki wam wielkie!