Udowodnij nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną a średnią potęgową
- cmnstrnbnn
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 1 raz
Udowodnij nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną a średnią potęgową
Dowieść, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, ..., a_{n} }\) i naturalnego \(\displaystyle{ n }\) i \(\displaystyle{ k }\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \sqrt[k]{ \frac{a_{1}^{k} + a_{2}^{k} + ... + a_{n}^{k} }{n} } \ge \frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} }{n} }\)
\(\displaystyle{ \sqrt[k]{ \frac{a_{1}^{k} + a_{2}^{k} + ... + a_{n}^{k} }{n} } \ge \frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} }{n} }\)
- cmnstrnbnn
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Udowodnij nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną a średnią potęgową
Właśnie to samo powiedział mi mój przyjaciel, lecz praktycznie wcale mi to nie pomogło
- cmnstrnbnn
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Udowodnij nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną a średnią potęgową
Prawdę mówiąc, nadal nic. Poza pomnożeniem później obustronnie przez n, co nic nie dało
- cmnstrnbnn
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Udowodnij nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną a średnią potęgową
Tak, lecz w praktyce nie potrafię jej zastosować
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Udowodnij nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną a średnią potęgową
Po prostu ja napisz, tyle że zamiast ogólnej funkcji `f` wstaw konkretną funkcję `f(x) =x^k`
- cmnstrnbnn
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Udowodnij nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną a średnią potęgową
Czy to będzie coś w stylu
\(\displaystyle{ \frac{x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + ... + x_{n}^{k} }{n} = \frac{x^k_{1}}{n} + \frac{x^k_{2}}{n} + ... + \frac{x^k_{n}}{n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x^k_{1}}{n} + \frac{x^k_{2}}{n} + ... + \frac{x^k_{n}}{n} \ge \frac{( x_{1} + x_{2} + ... + x_{n})^{k}}{n^{k}} }\)
\(\displaystyle{ f(x)=x^{k}, }\) więc \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} f(x_{i})= \frac{1}{n} \cdot ( x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + ... + x_{n}^{k} ) }\)
\(\displaystyle{ f\biggr( \frac{ \sum_{n}^{i=1} x_i }{n} \biggr)= \frac{( x_{1} + x_{2} + ... + x_{n})^{k}}{n^{k}} }\)
więc \(\displaystyle{ \frac{x^k_{1}}{n} + \frac{x^k_{2}}{n} + ... + \frac{x^k_{n}}{n} \ge \frac{( x_{1} + x_{2} + ... + x_{n})^{k}}{n^{k}} }\) to prawda, bo wynika to z nierówności Jensena cnd?
\(\displaystyle{ \frac{x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + ... + x_{n}^{k} }{n} = \frac{x^k_{1}}{n} + \frac{x^k_{2}}{n} + ... + \frac{x^k_{n}}{n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x^k_{1}}{n} + \frac{x^k_{2}}{n} + ... + \frac{x^k_{n}}{n} \ge \frac{( x_{1} + x_{2} + ... + x_{n})^{k}}{n^{k}} }\)
\(\displaystyle{ f(x)=x^{k}, }\) więc \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} f(x_{i})= \frac{1}{n} \cdot ( x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + ... + x_{n}^{k} ) }\)
\(\displaystyle{ f\biggr( \frac{ \sum_{n}^{i=1} x_i }{n} \biggr)= \frac{( x_{1} + x_{2} + ... + x_{n})^{k}}{n^{k}} }\)
więc \(\displaystyle{ \frac{x^k_{1}}{n} + \frac{x^k_{2}}{n} + ... + \frac{x^k_{n}}{n} \ge \frac{( x_{1} + x_{2} + ... + x_{n})^{k}}{n^{k}} }\) to prawda, bo wynika to z nierówności Jensena cnd?
Ostatnio zmieniony 28 cze 2020, o 18:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Udowodnij nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną a średnią potęgową
Dużo niepotrzebnych rzeczy tu napisałeś, ale ok. Musisz jeszcze udowodnić, że możesz zastosować Jensena czyli musisz pokazać, że ta funkcja potegowa jest wypukła
- cmnstrnbnn
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Udowodnij nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną a średnią potęgową
Tutaj już kompletnie nie mam pomysłu jak tego dokonać
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Udowodnij nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną a średnią potęgową
Policzyć drugą pochodną. I pamiętać, że interesują cię argumenty nieujemne.
JK
JK
- cmnstrnbnn
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 1 raz