Niech \(\displaystyle{ a,b,c<0}\) takie że \(\displaystyle{ abc=1}\), wykaż:
\(\displaystyle{ \frac{2a+3}{a^2+2a+2} + \frac{2b+3}{b^2+2b+2} + \frac{2c+3}{c^2+2c+2} \leq 3}\)
nierówność z trzema niewiadomymi
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: nierówność z trzema niewiadomymi
Raczej \(\displaystyle{ a,b,c>0}\), inaczej warunek z iloczynem nie może zajść. Iloczyn trzech liczb ujemnych jest ujemny, więc nie może równać się \(\displaystyle{ 1}\)…
Zapiszmy \(\displaystyle{ \frac{2a+3}{a^{2}+2a+2}=1-\frac{a^{2}-1}{a^{2}+2a+2}}\) etc. Po prostych przekształceniach nierówność przyjmuje formę:
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}-1}{a^{2}+2a+2}+\frac{b^{2}-1}{b^{2}+2b+2}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+2c+2}\ge 0}\)
Połóżmy teraz \(\displaystyle{ a=\frac{x}{y}, \ b=\frac{y}{z}, \ c=\frac{z}{x}}\) dla \(\displaystyle{ x,y,z>0}\), na co pozwala założenie \(\displaystyle{ abc=1}\), i mamy do wykazania:
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+2xy+2y^{2}}+\frac{y^{2}-z^{2}}{y^{2}+2yz+2z^{2}}+\frac{z^{2}-x^{2}}{z^{2}+2zx+2x^{2}}\ge 0 }\)
Po cierpliwym wymnożeniu tego na pałę i skróceniu mamy do wykazania nierówność
\(\displaystyle{ 3\sum_{\text{cyc}}x^{4}y^{2}+2\sum_{\text{cyx}}^{}x^{4}yz+2\sum_{\text{cyc}}^{}x^{3}y^{3}\ge 4\sum_{\text{cyc}}^{}x^{3}yz^{2}+9x^{2}y^{2}z^{2} \ (*)}\)
Na mocy AM-GM zachodzą nierówności:
\(\displaystyle{ x^{3}y^{3}+x^{3}z^{3}+x^{4}yz+z^{4}x^{2}\ge 4x^{3}yz^{2}\\y^{3}z^{3}+y^{3}x^{3}+y^{4}zx+x^{4}y^{2}\ge 4y^{3}zx^{2}\\z^{3}x^{3}+z^{3}y^{3}+z^{4}xy+y^{4}z^{2}\ge 4z^{3}xy^{2}\\2\sum_{\text{cyc}}^{}x^{4}y^{2}+\sum_{\text{cyc}}^{}x^{4}yz\ge 9x^{2}y^{2}z^{2} }\)
Dodajemy stronami te cztery nierówności i otrzymujemy \(\displaystyle{ (*)}\), co kończy dowód.
Równość zachodzi dla \(\displaystyle{ x=y=z}\), czyli w wyjściowych zmiennych – dla \(\displaystyle{ a=b=c=1}\).
Zapiszmy \(\displaystyle{ \frac{2a+3}{a^{2}+2a+2}=1-\frac{a^{2}-1}{a^{2}+2a+2}}\) etc. Po prostych przekształceniach nierówność przyjmuje formę:
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}-1}{a^{2}+2a+2}+\frac{b^{2}-1}{b^{2}+2b+2}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+2c+2}\ge 0}\)
Połóżmy teraz \(\displaystyle{ a=\frac{x}{y}, \ b=\frac{y}{z}, \ c=\frac{z}{x}}\) dla \(\displaystyle{ x,y,z>0}\), na co pozwala założenie \(\displaystyle{ abc=1}\), i mamy do wykazania:
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+2xy+2y^{2}}+\frac{y^{2}-z^{2}}{y^{2}+2yz+2z^{2}}+\frac{z^{2}-x^{2}}{z^{2}+2zx+2x^{2}}\ge 0 }\)
Po cierpliwym wymnożeniu tego na pałę i skróceniu mamy do wykazania nierówność
\(\displaystyle{ 3\sum_{\text{cyc}}x^{4}y^{2}+2\sum_{\text{cyx}}^{}x^{4}yz+2\sum_{\text{cyc}}^{}x^{3}y^{3}\ge 4\sum_{\text{cyc}}^{}x^{3}yz^{2}+9x^{2}y^{2}z^{2} \ (*)}\)
Na mocy AM-GM zachodzą nierówności:
\(\displaystyle{ x^{3}y^{3}+x^{3}z^{3}+x^{4}yz+z^{4}x^{2}\ge 4x^{3}yz^{2}\\y^{3}z^{3}+y^{3}x^{3}+y^{4}zx+x^{4}y^{2}\ge 4y^{3}zx^{2}\\z^{3}x^{3}+z^{3}y^{3}+z^{4}xy+y^{4}z^{2}\ge 4z^{3}xy^{2}\\2\sum_{\text{cyc}}^{}x^{4}y^{2}+\sum_{\text{cyc}}^{}x^{4}yz\ge 9x^{2}y^{2}z^{2} }\)
Dodajemy stronami te cztery nierówności i otrzymujemy \(\displaystyle{ (*)}\), co kończy dowód.
Równość zachodzi dla \(\displaystyle{ x=y=z}\), czyli w wyjściowych zmiennych – dla \(\displaystyle{ a=b=c=1}\).