Prawdziwość nierówności

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
MatU3x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 16 maja 2020, o 13:40
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 5 razy

Prawdziwość nierówności

Post autor: MatU3x » 22 maja 2020, o 22:02

Hej,
utknąłem w zadaniu i proszę o pomoc:

"Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a}\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ b}\) prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ 5a\left( a+b\right) \ge -b\left( 9b+7a\right).}\)"

Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 5a\left( a+b\right) \ge -b\left( 9b+7a\right)}\)
\(\displaystyle{ 5a\left( a+b\right) + b\left( 9b+7a\right) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 5a^{2}+5ab+9b ^{2}+7ab \ge 0 }\)
\(\displaystyle{ 5a^{2}+12ab+9b ^{2} \ge 0 }\)

W tym momencie zacząłem liczyć deltę

\(\displaystyle{ \Delta=b ^{2}-4ac }\)
\(\displaystyle{ \Delta=144-180}\)

Delta wychodzi ujemna więc nie ma rozwiązań. Ale wydaję mi się, że jeśli mam coś wykazać to założenie jest prawdziwe, dobrze pamiętam? Jeśli tak, to prosiłbym o jakieś wskazówki gdzie popełniam błąd.
Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 22 maja 2020, o 22:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania. Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26409
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4417 razy

Re: Prawdziwość nierówności

Post autor: Jan Kraszewski » 22 maja 2020, o 22:12

MatU3x pisze:
22 maja 2020, o 22:02
\(\displaystyle{ 5a^{2}+12ab+9b ^{2} \ge 0 }\)

W tym momencie zacząłem liczyć deltę

\(\displaystyle{ \Delta=b ^{2}-4ac }\)
\(\displaystyle{ \Delta=144-180}\)
A jakżeż Ty tą deltę policzyłeś? Bo to dość magicznie wygląda.

Zanim zaczniesz cokolwiek liczyć, musisz ustalić, który z symboli \(\displaystyle{ a,b}\) oznacza zmienną, a który parametr.

Inna sprawa, że liczenie delty to nie jest najlepszy pomysł. Zamiast tego lepiej podzielić tę sumę na dwie części: \(\displaystyle{ 5a^{2}+12ab+9b ^{2} = (4a^{2}+12ab+9b ^{2})+a^2 }\) i coś zauważyć.
MatU3x pisze:
22 maja 2020, o 22:02
Ale wydaję mi się, że jeśli mam coś wykazać to założenie jest prawdziwe, dobrze pamiętam?
Przypominam, że to, co masz wykazać, to nie założenie, tylko teza. I tak, w poprawnie ułożonym zadaniu "Udowodnij, że..." teza jest prawdziwa.

JK

MatU3x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 16 maja 2020, o 13:40
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 5 razy

Re: Prawdziwość nierówności

Post autor: MatU3x » 24 maja 2020, o 23:47

Jan Kraszewski pisze:
22 maja 2020, o 22:12
A jakżeż Ty tą deltę policzyłeś? Bo to dość magicznie wygląda.
Już tłumaczę:
\(\displaystyle{
b ^{2}-4ac=12 \cdot 12-4 \cdot 9 \cdot 5=144-180=-36
}\)

Dlatego też napisałem że delta wyszła mi ujemna.
Faktycznie sprytnym zauważeniem wzoru skróconego mnożenia wychodzi bardzo łatwo, dziękuje.
Jednakże nie chciałbym iść drogą na skróty, chętnie bym przyjął jakieś wskazówki dlaczego delta mi wychodzi "magiczna"?
Jan Kraszewski pisze:
22 maja 2020, o 22:12
Zanim zaczniesz cokolwiek liczyć, musisz ustalić, który z symboli a,b oznacza zmienną, a który parametr.
Tutaj też prosiłbym o jakieś słowo, czy to przypadkiem nie jest tak, że zmiennymi właśnie są a oraz b, natomiast parametrami są liczby które stoją przed nimi?
Dziękuję za poprawę i utwierdzenie z tezą!
Pozdrawiam

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14856
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 120 razy
Pomógł: 4920 razy

Re: Prawdziwość nierówności

Post autor: Premislav » 25 maja 2020, o 00:12

W momencie, w którym doszedłeś do postaci \(\displaystyle{ 5a^{2}+12ab+9b^{2}\ge 0}\)
trochę nie jest jasne, jak liczysz tę deltę, że taka wychodzi. Masz tutaj dwie zmienne \(\displaystyle{ a,b}\) i wyjścia (jak nie chcesz zauważać zwinięcia do wzorów skróconego mnożenia) są dwa: albo jedną z \(\displaystyle{ a,b}\) traktujesz jako stałą i masz trójmian np. zmiennej \(\displaystyle{ a}\) z parametrem \(\displaystyle{ b}\), albo musisz się pozbyć jednej zmiennej. Pokażę oba podejścia:
1) trójmian zmiennej (dajmy na to) \(\displaystyle{ a}\) z parametrem \(\displaystyle{ b}\). Jak miałeś w szkole równania kwadratowe z parametrem, to powinno być jasne, że dla trójmianu \(\displaystyle{ 5a^{2}+12ab+9b^{2}}\) wyróżnik wynosi:
\(\displaystyle{ \Delta=144b^{2}-180b^{2}=-36b^{2}}\). Wyróżnik jest niedodatni, współczynnik przy \(\displaystyle{ a^{2}}\) jest dodatni, więc nierówność zachodzi.
2) Można również postąpić tak: jeśli \(\displaystyle{ b=0}\), to nierówność
\(\displaystyle{ 5a^{2}+12ab+9b^{2}\ge 0}\) sprowadza się do oczywistej \(\displaystyle{ 5a^{2}\ge 0}\), a gdy \(\displaystyle{ b\neq 0}\), to możemy podzielić nierówność stronami przez \(\displaystyle{ b^{2}}\), dostając równoważną nierówność
\(\displaystyle{ 5\left(\frac{a}{b}\right)^{2}+12\frac{a}{b}+9\ge 0}\)
Teraz podstawmy \(\displaystyle{ x=\frac{a}{b}}\) i mamy trójmian zmiennej \(\displaystyle{ x}\).

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26409
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4417 razy

Re: Prawdziwość nierówności

Post autor: Jan Kraszewski » 25 maja 2020, o 01:28

MatU3x pisze:
24 maja 2020, o 23:47
Tutaj też prosiłbym o jakieś słowo, czy to przypadkiem nie jest tak, że zmiennymi właśnie są a oraz b, natomiast parametrami są liczby które stoją przed nimi?
Nie, Premislav dokładnie Ci to wytłumaczył.

JK

MatU3x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 16 maja 2020, o 13:40
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 5 razy

Re: Prawdziwość nierówności

Post autor: MatU3x » 25 maja 2020, o 20:13

Premislav pisze:
25 maja 2020, o 00:12
W momencie, w którym doszedłeś do postaci \(\displaystyle{ 5a^{2}+12ab+9b^{2}\ge 0}\)
trochę nie jest jasne, jak liczysz tę deltę, że taka wychodzi. Masz tutaj dwie zmienne \(\displaystyle{ a,b}\) i wyjścia (jak nie chcesz zauważać zwinięcia do wzorów skróconego mnożenia) są dwa: albo jedną z \(\displaystyle{ a,b}\) traktujesz jako stałą i masz trójmian np. zmiennej \(\displaystyle{ a}\) z parametrem \(\displaystyle{ b}\), albo musisz się pozbyć jednej zmiennej. Pokażę oba podejścia:
1) trójmian zmiennej (dajmy na to) \(\displaystyle{ a}\) z parametrem \(\displaystyle{ b}\). Jak miałeś w szkole równania kwadratowe z parametrem, to powinno być jasne, że dla trójmianu \(\displaystyle{ 5a^{2}+12ab+9b^{2}}\) wyróżnik wynosi:
\(\displaystyle{ \Delta=144b^{2}-180b^{2}=-36b^{2}}\). Wyróżnik jest niedodatni, współczynnik przy \(\displaystyle{ a^{2}}\) jest dodatni, więc nierówność zachodzi.
2) Można również postąpić tak: jeśli \(\displaystyle{ b=0}\), to nierówność
\(\displaystyle{ 5a^{2}+12ab+9b^{2}\ge 0}\) sprowadza się do oczywistej \(\displaystyle{ 5a^{2}\ge 0}\), a gdy \(\displaystyle{ b\neq 0}\), to możemy podzielić nierówność stronami przez \(\displaystyle{ b^{2}}\), dostając równoważną nierówność
\(\displaystyle{ 5\left(\frac{a}{b}\right)^{2}+12\frac{a}{b}+9\ge 0}\)
Teraz podstawmy \(\displaystyle{ x=\frac{a}{b}}\) i mamy trójmian zmiennej \(\displaystyle{ x}\).
Szczerze powiedziawszy wracam po dłuższym czasie do nauki i brzmi to trochę jak czarna magia, ale wydaje mi się, że jest tak dokładnie rozpisane że lepiej się nie da, więc zaraz będę to analizował. Dziękuje bardzo za pomoc! :)

ODPOWIEDZ