Dowód w algebrze

[qwerty355]

Proszę o sprawdzenie, czy ten dowód wykonany jest prawidłowo. Nie jestem pewny, czy można to robić w taki sposób i czy otrzymałbym za to pełną liczbę punktów (jest to zadanie z matury rozszerzonej z 2016 roku)
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) takich, że \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = 2 }\) prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ x + y \le 2 }\).

Przekształcam równoważnie nierwóność \(\displaystyle{ x + y \le 2 }\).
Obie strony nierówności są dodatnie, więc można podnieść obustronnie do kwadratu.
\(\displaystyle{ x^{2} + 2xy + y^{2} \le 4 }\)
\(\displaystyle{ 2xy + 2 \le 4 }\)
\(\displaystyle{ 2xy \le 2 /:2 }\)
\(\displaystyle{ xy \le 1 }\)

Jeśli \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = 2 }\), to obie liczby \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są równe \(\displaystyle{ 1}\) lub są liczbami dodatnimi z przedziału \(\displaystyle{ (0;1) }\).
Jeśli \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są równe \(\displaystyle{ 1}\), to ich iloczyn \(\displaystyle{ xy}\) również jest równy \(\displaystyle{ 1}\), więc nierówność \(\displaystyle{ xy \le 1 }\) jest prawdziwa.
Jeśli \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są liczbami z przedziału \(\displaystyle{ (0;1) }\), to iloczyn \(\displaystyle{ xy}\) należy do przedziału \(\displaystyle{ (0;1) }\), więc nierówność \(\displaystyle{ xy \le 1 }\) jest prawdziwa.

[a4karo]

Proszę o sprawdzenie, czy ten dowód wykonany jest prawidłowo. Nie jestem pewny, czy można to robić w taki sposób i czy otrzymałbym za to pełną liczbę punktów (jest to zadanie z matury rozszerzonej z 2016 roku)
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich licz rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) takich, że \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = 2 }\) prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ x + y \le 2 }\).



Jeśli \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = 2 }\), to obie liczby \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są równe \(\displaystyle{ 1}\) lub są liczbami dodatnimi z przedziału \(\displaystyle{ (0;1) }\).

To stwierdzenie jest nieprawdziwe.

Dodano po 3 minutach 38 sekundach:
Zauważ, żę prosta `x+y=2` jest styczna do okręgu w punkcie `(1,1)`

[qwerty355]

Dlaczego jest nieprawdziwe? Jeśli byłyby większe od 1, to suma ich kwadratów nie wynosiłaby 2. Nie do końca rozumiem, jak miałbym wykorzystać fakt, że prosta jest styczna do okręgu.

[Psiaczek]

Nie wiem czy to przekracza zdolności dzisiejszego maturzysty , zauważyć że z \(\displaystyle{ (x-y)^2 \ge 0}\) wynika po drobnych przekształceniach

\(\displaystyle{ xy \le \frac{x^2+y^2}{2} }\) więc skoro \(\displaystyle{ x^2+y^2=2}\) to \(\displaystyle{ xy \le 1}\) .

a co do twojego pytania na przykład punkt \(\displaystyle{ ( \frac{7}{5} , \frac{1}{5})}\) leży na tym okręgu i pierwsza współrzędna jest większa od jedynki.

[JHN]

Optymalnie byłoby wykorzystać
\(\displaystyle{ \forall_{x,y\in\RR_+}\sqrt{{x^2+y^2\over 2}}\ge{x+y\over2}}\)
i równość zachodzi dla \(\displaystyle{ x=y}\)

Pozdrawiam

[edited] po poprzednim: średnie i porządek między nimi jest w podstawie programowej

[Dasio11]

Albo:

\(\displaystyle{ (x+y)^2 \le (x+y)^2 + (x-y)^2 = 2(x^2+y^2) = 4}\)

zatem \(\displaystyle{ x+y \le 2}\).

[Premislav]

Podstawmy \(\displaystyle{ x=\sqrt{2}\cos \alpha, \ y=\sqrt{2}\sin \alpha, \ \alpha\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}\), na co pozwala założenie o dodatniości i sumie kwadratów tych liczb, a dowodzona nierówność przyjmie formę
\(\displaystyle{ \sqrt{2}\left(\cos \alpha+\sin \alpha\right)\le 2\\ \sqrt{2}\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)+\sin \alpha\right)\le 2\\2\sqrt{2}\sin \frac{\pi}{4}\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\le 2\\\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\le 1}\)
co jest już oczywiste z uwagi na zbiór wartości kosinusa. Na drodze równoważnych przekształceń otrzymaliśmy prawdziwą nierówność, co kończy dowód.

[qwerty355]

Nie wiem czy to przekracza zdolności dzisiejszego maturzysty , zauważyć że z \(\displaystyle{ (x-y)^2 \ge 0}\) wynika po drobnych przekształceniach

Nie przekracza to moich możliwości Wiem, że można przekształcić nierówność podaną w zdaniu inaczej, aby ostatecznie doprowadzić ją do postaci \(\displaystyle{ (x-y)^{2} \ge 0}\). Chodziło mi jednak o to, czy można przeprowadzić dowód w taki sposób, jak podałem, tzn. rozważając, do jakich przedziałów może należeć x i y.

[a4karo]

Dlaczego jest nieprawdziwe? Jeśli byłyby większe od 1, to suma ich kwadratów nie wynosiłaby 2. Nie do końca rozumiem, jak miałbym wykorzystać fakt, że prosta jest styczna do okręgu.

Jak byś narysował, to byś wiedział. Styczność oznacza, że ćwiartka okręgu leży wewnątrz trójkąta odciętego tą prostą i osiami układu. A to znaczy, że zachodzi poszukiwana nierówność.