Nierówność

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Kmil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 31 sty 2019, o 13:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: RPA
Podziękował: 4 razy

Nierówność

Post autor: Kmil »

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a,b,c zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ 3+(a+b+c)+( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c})+( \frac{a}{b} + \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}) \ge \frac{3(a+1)(b+1)(c+1)}{abc+1} }\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Nierówność

Post autor: Premislav »

Pomnóżmy stronami przez \(\displaystyle{ abc+1}\) i wykonajmy redukcję wyrazów podobnych, a otrzymamy równoważną nierówność:
\(\displaystyle{ abc(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)}\)
Następnie odnotujmy, że z AM-GM mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+abc^{2}\ge 2ca\\\frac{b}{c}+bca^{2}\ge 2ab\\ \frac{c}{a}+cab^{2}\ge 2bc\\a^{2}c+\frac{1}{c}\ge 2a\\b^{2}a+\frac{1}{a}\ge 2b\\c^{2}b+\frac{1}{b}\ge 2c}\)
Dodajemy te nierówności stronami i po dowodzie. Równość zachodzi dla \(\displaystyle{ a=b=c=1}\).
ODPOWIEDZ