Wyznaczyć największe \(\displaystyle{ n}\), dla którego istnieje jedyna liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ k}\) taka, że \(\displaystyle{ \frac{8}{15} < \frac{n}{n+k} < \frac{7}{13} }\).
Ostatnio zmieniony 17 maja 2020, o 19:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Poprawa wiadomości.
Na wyrażanie \(\displaystyle{ \frac{n}{n+k} }\) patrzę jak na ciąg zmiennej \(\displaystyle{ k}\) przy ustalonym \(\displaystyle{ n}\), oznaczmy \(\displaystyle{ a_{k,n}}\). Widać, że dla pewnego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) (bez starty ogólność powiedzmy, że większego od \(\displaystyle{ 10}\)) początkowe wyrazy są bliskie \(\displaystyle{ a_{k,n} \approx 1}\) ale wraz ze wzrostem \(\displaystyle{ k}\) wartości skaczą sobie aż do zera. Zwiększając \(\displaystyle{ n}\) zwiększamy rozdzielczość takich skoków. Pytanie zatem o najmniejszą rozdzielczość \(\displaystyle{ n}\) po przekroczeniu której istnieć będą już zawsze co najmniej dwa takie \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ k+1}\), że \(\displaystyle{ a_{k,n},a_{k+1,n}\in \left( \frac{8}{15}, \frac{7}{13} \right) }\). Zauważywszy, że dla \(\displaystyle{ n= \frac{7}{6}k }\) dla \(\displaystyle{ k}\) takich, że \(\displaystyle{ n\in\NN}\) mamy \(\displaystyle{ a_{k,n}= \frac{7}{13} }\) zatem wartość \(\displaystyle{ a_{k,n}}\) znajduje się na górnym skraju przedziału \(\displaystyle{ \left( \frac{8}{15}, \frac{7}{13} \right)}\) ale jeszcze do niego nie wpada. Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ n=112}\) jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ k=96}\) wtedy \(\displaystyle{ a_{96,112}\in \left( \frac{8}{15}, \frac{7}{13} \right)}\) ale już dla \(\displaystyle{ n=119}\) powstałego z \(\displaystyle{ k=102}\) rozwiązania są dwa bo \(\displaystyle{ a_{103,119}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{104,119}}\) wpadają do przedziału mimo iż skok zaczynał się z wartości \(\displaystyle{ a_{102,119}= \frac{7}{13} }\). Oznacza to, że w dla \(\displaystyle{ n\in\left\{ 112,113,114,...,118\right\} }\) zostaje przekroczona wartość krytyczna rozdzielczości wszak dla \(\displaystyle{ n \ge 119}\) skoki nie są już dłuższe niż połowa przedziału co pokazuje rachunek \(\displaystyle{ \left| a_{119,102} -a_{119,103}\right|< \frac{1}{2 \cdot 195} }\). Pozostaje sprawdzić pozostałe podejrzane \(\displaystyle{ n}\). Jednak ręczne sprawdzenie \(\displaystyle{ n\in\left\{ 112,113,114,...,118\right\} }\) wykazuje, że największym \(\displaystyle{ n}\) dla którego istnieje tylko jedno \(\displaystyle{ k}\) jest \(\displaystyle{ n=112}\).
