Sympatyczny układ

[mol_ksiazkowy]

Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z + \sqrt{xyz}= 4 \\ \sqrt{2x} + \sqrt{3y} + \sqrt{3z} =7 \\ x= \min \{ x, y, z \} \end{cases} }\)

[Premislav]

Dobrze przepisane Z Cauchy'ego-Schwarza
\(\displaystyle{ 32-8\sqrt{xyz}=\left(2+3+3\right)(x+y+z) \ge \left(\sqrt{2x}+\sqrt{3y}+\sqrt{3z}\right)^{2}=49}\)
czyli wygląda na to, że rozwiązania nie istnieją.

[mol_ksiazkowy]

Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z + \sqrt{xyz}= 4 \\ \sqrt{2x} + \sqrt{3y} + \sqrt{3z} =\frac{7}{\sqrt{2}} \\ x= \min \{ x, y, z \} \end{cases} }\)

[Premislav]

Dobra, to jedziemy:
pomnóżmy drugie równanie stronami przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i podstawmy \(\displaystyle{ 4x=a^{2}, \ 6y=b^{2}, \ 6z=c^{2}, \ a,b,c\ge 0}\)
Układ dwóch pierwszych równań przyjmuje formę:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{1}{4}a^{2}+\frac{1}{6}b^{2}+\frac{1}{6}c^{2}+\frac{1}{12}abc=4\\a+b+c=7 \end{cases}}\)
Udowodnimy, że w nieujemnych spełniających \(\displaystyle{ a+b+c=7}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}a^{2}+\frac{1}{6}b^{2}+\frac{1}{6}c^{2}+\frac{1}{12}abc\ge 4}\)
Jeśli \(\displaystyle{ a>4}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}a^{2}>4}\) i zachodzi ostra nierówność. Przypuśćmy dalej, że \(\displaystyle{ a\le 4}\).
Niech \(\displaystyle{ f(a,b,c)=\frac{1}{4}a^{2}+\frac{1}{6}b^{2}+\frac{1}{6}c^{2}+\frac{1}{12}abc}\)
Mamy \(\displaystyle{ f(a,b,c)\ge f\left(a, \frac{b+c}{2}, \frac{b+c}{2}\right)\\\Leftrightarrow \frac{1}{6}b^{2}+\frac{1}{6}c^{2}+\frac{1}{12}abc\ge \frac{1}{3}\left(\frac{b+c}{2}\right)^{2}+\frac{1}{12}a\left(\frac{b+c}{2}\right)^{2}\Leftrightarrow \frac{1}{12}(4-a)\left(\frac{b-c}{2}\right)^{2}\ge 0}\)
Zatem wystarczy rozważyć przypadek \(\displaystyle{ b=c}\).
W tym zaś przypadku jest
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}a^{2}+\frac{1}{6}b^{2}+\frac{1}{6}c^{2}+\frac{1}{12}abc=\frac{1}{4}(7-2b)^{2}+\frac{1}{3}b^{2}+\frac{1}{12}(7-2b)b^{2}}\)
i wystarczy stwierdzić, że dla \(\displaystyle{ f(b)=\frac{1}{4}(7-2b)^{2}+\frac{1}{3}b^{2}+\frac{1}{12}(7-2b)b^{2}, \ b\in \left[0, \frac{7}{2}\right]}\) jest
\(\displaystyle{ f_{\min}=4}\) dla \(\displaystyle{ b=3}\)
To jest kwestia rachunku różniczkowego jednej zmiennej, nie będę tego rozpisywać, bo nie widzę szczególnego sensu.

Ostatecznie rozwiązanie układu to \(\displaystyle{ a=1, \ b=c=3}\), czyli w poprzednich zmiennych
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{4}, \ y=z=\frac{3}{2}}\).