Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y = a+b \\ x^3+y^3 = a^3+b^3 \end{cases}}\)
w zbiorze liczb rzeczywistych
Prosty układ
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11374
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Prosty układ
Przyjmuję, że niewiadomymi są \(\displaystyle{ x,y}\). Oznaczmy \(\displaystyle{ A=x+y, \ B=xy}\), a układ przyjmuje postać
\(\displaystyle{ \begin{cases}A=a+b\\A^{3}-3AB=a^{3}+b^{3}\end{cases}}\)
Z pierwszego wstawiamy do drugiego i jest
\(\displaystyle{ (a+b)^{3}-3(a+b)B=a^{3}+b^{3}}\), czyli
\(\displaystyle{ B=\frac{(a+b)^{3}-a^{3}-b^{3}}{3(a+b)}=ab}\)
co działa, o ile \(\displaystyle{ a+b\neq 0}\)
Czyli mamy \(\displaystyle{ x+y=a+b, \ xy=ab}\), tj. \(\displaystyle{ \left\{x,y\right\}=\left\{a,b\right\}}\).
Pozostaje jeszcze przypadek \(\displaystyle{ a+b=0}\), w którym układ spełniają \(\displaystyle{ (x,y)=(t,-t), \ t\in \RR}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases}A=a+b\\A^{3}-3AB=a^{3}+b^{3}\end{cases}}\)
Z pierwszego wstawiamy do drugiego i jest
\(\displaystyle{ (a+b)^{3}-3(a+b)B=a^{3}+b^{3}}\), czyli
\(\displaystyle{ B=\frac{(a+b)^{3}-a^{3}-b^{3}}{3(a+b)}=ab}\)
co działa, o ile \(\displaystyle{ a+b\neq 0}\)
Czyli mamy \(\displaystyle{ x+y=a+b, \ xy=ab}\), tj. \(\displaystyle{ \left\{x,y\right\}=\left\{a,b\right\}}\).
Pozostaje jeszcze przypadek \(\displaystyle{ a+b=0}\), w którym układ spełniają \(\displaystyle{ (x,y)=(t,-t), \ t\in \RR}\).