Wykaż nierówność

[Kmil]

Liczby dodatnie \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},...,x_{n}}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=1}\). Wykaż, że:

\(\displaystyle{ (x_{1}+\frac{1}{x_{1}})^n+(x_{2}+\frac{1}{x_{2}})^n+...+(x_{n}+\frac{1}{x_{n}})^n \ge \frac{(n^2+1)^n}{n^{n-1}} }\)

Zadanie pochodzi z działu "Kółka matematycznego dla olimpijczyków" Henryka Pawłowskiego o nierówności o średnich.

[Dasio11]

Wskazówka: podziel stronami przez \(\displaystyle{ n}\), wyciągnij pierwiastek \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia, a potem skorzystaj z nierówności między średnią potęgową a arytmetyczną.

[Kmil]

Jest jakiś sposób, aby rozwiązać to zadanie przy użyciu nierówności między średnimi: arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną, ponieważ tylko takie zostały przedstawione w rozdziale, z którego pochodzi to zadanie?

[bosa_Nike]

Jest. Skoro wychodzi Hölderem to powinna wyjść też z AM-GM. Dodaj \(\displaystyle{ n}\) tego typu nierówności i poprzekształcaj:
$$\frac{\left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)^n}{\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i+\frac{1}{x_i}\right)^n}+\underbrace{\frac{1}{n}+\ldots +\frac{1}{n}}_{n-1}\ge n\cdot\sqrt[n]{\frac{\left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)^n}{n^{n-1}\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i+\frac{1}{x_i}\right)^n}}$$
$$\frac{\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right)^n}{\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i+\frac{1}{x_i}\right)^n}+\underbrace{\frac{1}{n}+\ldots +\frac{1}{n}}_{n-1}\ge n\cdot\sqrt[n]{\frac{\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right)^n}{n^{n-1}\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i+\frac{1}{x_i}\right)^n}}$$ itd.

Kiedy już to zrobisz, to wystarczy użyć AM-HM i danego warunku.

[Kmil]

Świetnie, już wszystko rozumiem, dziękuje wam bardzo za pomoc.