nierówność

[Tmkk]

Hej, chciałem pokazać taką nierówność

\(\displaystyle{ \sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2} + 9\sqrt[3]{abc} \le 4(a+b+c)}\)

Zakładam, że \(\displaystyle{ a+b+c=3}\) i sensowne wydawało mi się, aby pomanewrować trochę tym pierwiastkiem trzeciego stopnia, o na przykład tak: \(\displaystyle{ 9\sqrt[3]{abc} \le 3(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})}\). Wtedy mam same pierwiastki i może jakaś średnia potęgowa, ale nic mi nie wyszło.

Jeśli ktoś umie to zrobić (lub widział rozwiązanie, to podobno jest zadanie z MOP2011), to proszę o wskazówkę.

[Premislav]

Pewnie miała być w dodatnich, jeśli tak, to wskazówka:
to nie jest bardzo ścisła nierówność, możesz niejako skonsolidować tę sumę pierwiastków kwadratowych po lewej za pomocą nierówności między średnią kwadratową a arytmetyczną i dalej wyjdzie prawdziwa nierówność. A taką już można po prostym przekształceniu skwadracić i zniszczyć metodą \(\displaystyle{ pqr}\). Jak Cię to nie satysfakcjonuje, to jeszcze pomyślę.

[bosa_Nike]

@Tmkk - kombinuj tak, jak kombinowałeś, tylko bez normowania. Górne oszacowanie na pierwiastek sześcienny ok, średnie potęgowe (a konkretnie kwadratowa) ok. Weź do tego pierwiastki (jeden długi i trzy krótkie) zawierające tylko dwie zmienne.

[Tmkk]

@Premislav

Nigdy nie używałem tej metody. Czyli przekształcam do postaci \(\displaystyle{ \sqrt{6p^2-15q} + 9\sqrt[3]{r} - 12 \le 0}\) i przy ustalonych \(\displaystyle{ p,q}\) widać, że wystarczy sprawdzić nierówność dla jak największego \(\displaystyle{ r}\), czyli z metody \(\displaystyle{ pqr}\), dla powiedźmy \(\displaystyle{ a=b}\). O to mniej więcej chodzi?

@bosa_Nike

Rzeczywiście, byłem całkiem blisko. Czyli kończąc

\(\displaystyle{ LHS \le \sum_{cyc} \sqrt{a^2-ab+b^2} + 3\sqrt{ab} \le \sum_{cyc} 4\sqrt{\frac{a^2-ab+b^2+3ab}{4}} = \sum_{cyc} 2(a+b) = 4(a+b+c)}\)

Dziękuję ślicznie.

[bosa_Nike]

Ja tylko dorzucę, że styczne też działają. Właśnie to, że współczynniki wychodzą takie ładne (tzn. oba równe \(\displaystyle{ 2}\)), zrodziło u mnie podejrzenie, że można zrobić prościej.

[Premislav]

@Tmkk: heh, trochę nie ma sensu tego rozwijać, skoro już bosa_Nike zasugerowała znacznie bardziej eleganckie rozwiązanie. Ale tak, o to chodzi.