nierówność z trzema niewiadomymi
-
- Użytkownik
- Posty: 138
- Rejestracja: 14 wrz 2018, o 18:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Brak
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 4 razy
nierówność z trzema niewiadomymi
Niech \(\displaystyle{ a,b,c>0, abc=1 .}\) Wykaż że \(\displaystyle{ \frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+c}+\frac{c}{1+a}\ge\frac{\sqrt{3(a+b+c)}}{2}.}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: nierówność z trzema niewiadomymi
Założenia zadania pozwalają podstawić \(\displaystyle{ a=\frac{x}{y}, \ b=\frac{y}{z}, \ c=\frac{z}{x}}\), przy czym \(\displaystyle{ x,y,z>0}\) i po pięknych rachunkach otrzymujemy równoważną wyjściowej nierówność do wykazania w dodatnich:
\(\displaystyle{ \left(x^4 z^2 + x^3 y^3 + x^3 y^2 z + x^3 y z^2 + x^3 z^3 + x^2 y^4 + x^2 y^3 z + x^2 y z^3 + x y^3 z^2 + x y^2 z^3 + y^3 z^3 + y^2 z^4
\right)^{2}\\ \ge \frac{3}{4}\left( x^7 y^3 z^2 + 2 x^7 y^2 z^3 + x^7 y z^4 + x^6 y^5 z + 4 x^6 y^4 z^2 + 7 x^6 y^3 z^3 + 6 x^6 y^2 z^4 + 2 x^6 y z^5 + 2 x^5 y^6 z + 7 x^5 y^5 z^2 + 13 x^5 y^4 z^3 + 14 x^5 y^3 z^4 + 7 x^5 y^2 z^5 + x^5 y z^6 + x^4 y^7 z + 6 x^4 y^6 z^2 + 14 x^4 y^5 z^3 + 18 x^4 y^4 z^4 + 13 x^4 y^3 z^5 + 4 x^4 y^2 z^6 + 2 x^3 y^7 z^2 + 7 x^3 y^6 z^3 + 13 x^3 y^5 z^4 + 14 x^3 y^4 z^5 + 7 x^3 y^3 z^6 + x^3 y^2 z^7 + x^2 y^7 z^3 + 4 x^2 y^6 z^4 + 7 x^2 y^5 z^5 + 6 x^2 y^4 z^6 + 2 x^2 y^3 z^7 + x y^6 z^5 + 2 x y^5 z^6 + x y^4 z^7
\right) }\)
a to po elementarnych przekształceniach algebraicznych daje:
\(\displaystyle{ 4 x^8 z^4 + 5 x^7 y^3 z^2 + 2 x^7 y^2 z^3 + 5 x^7 y z^4 + 8 x^7 z^5 + 4 x^6 y^6 + 5 x^6 y^5 z + 8 x^6 y^4 z^2 + 3 x^6 y^3 z^3 - 6 x^6 y^2 z^4 + 10 x^6 y z^5 + 4 x^6 z^6 + 8 x^5 y^7 + 10 x^5 y^6 z - 5 x^5 y^5 z^2 - 15 x^5 y^4 z^3 - 18 x^5 y^3 z^4 - 5 x^5 y^2 z^5 + 5 x^5 y z^6 + 4 x^4 y^8 + 5 x^4 y^7 z - 6 x^4 y^6 z^2 - 18 x^4 y^5 z^3 - 30 x^4 y^4 z^4 - 15 x^4 y^3 z^5 + 8 x^4 y^2 z^6 + 2 x^3 y^7 z^2 + 3 x^3 y^6 z^3 - 15 x^3 y^5 z^4 - 18 x^3 y^4 z^5 + 3 x^3 y^3 z^6 + 5 x^3 y^2 z^7 + 5 x^2 y^7 z^3 + 8 x^2 y^6 z^4 - 5 x^2 y^5 z^5 - 6 x^2 y^4 z^6 + 2 x^2 y^3 z^7 + 5 x y^6 z^5 + 10 x y^5 z^6 + 5 x y^4 z^7 + 4 y^6 z^6 + 8 y^5 z^7 + 4 y^4 z^8\ge 0 }\)
Łatwo widać, że ta nierówność jest prawdziwa, co kończy dowód.
A tak na serio, ma ktoś istotne wnioski w tym problemie? Ja się poddałem, wypadam jak Kubica na zakrętach.
\(\displaystyle{ \left(x^4 z^2 + x^3 y^3 + x^3 y^2 z + x^3 y z^2 + x^3 z^3 + x^2 y^4 + x^2 y^3 z + x^2 y z^3 + x y^3 z^2 + x y^2 z^3 + y^3 z^3 + y^2 z^4
\right)^{2}\\ \ge \frac{3}{4}\left( x^7 y^3 z^2 + 2 x^7 y^2 z^3 + x^7 y z^4 + x^6 y^5 z + 4 x^6 y^4 z^2 + 7 x^6 y^3 z^3 + 6 x^6 y^2 z^4 + 2 x^6 y z^5 + 2 x^5 y^6 z + 7 x^5 y^5 z^2 + 13 x^5 y^4 z^3 + 14 x^5 y^3 z^4 + 7 x^5 y^2 z^5 + x^5 y z^6 + x^4 y^7 z + 6 x^4 y^6 z^2 + 14 x^4 y^5 z^3 + 18 x^4 y^4 z^4 + 13 x^4 y^3 z^5 + 4 x^4 y^2 z^6 + 2 x^3 y^7 z^2 + 7 x^3 y^6 z^3 + 13 x^3 y^5 z^4 + 14 x^3 y^4 z^5 + 7 x^3 y^3 z^6 + x^3 y^2 z^7 + x^2 y^7 z^3 + 4 x^2 y^6 z^4 + 7 x^2 y^5 z^5 + 6 x^2 y^4 z^6 + 2 x^2 y^3 z^7 + x y^6 z^5 + 2 x y^5 z^6 + x y^4 z^7
\right) }\)
a to po elementarnych przekształceniach algebraicznych daje:
\(\displaystyle{ 4 x^8 z^4 + 5 x^7 y^3 z^2 + 2 x^7 y^2 z^3 + 5 x^7 y z^4 + 8 x^7 z^5 + 4 x^6 y^6 + 5 x^6 y^5 z + 8 x^6 y^4 z^2 + 3 x^6 y^3 z^3 - 6 x^6 y^2 z^4 + 10 x^6 y z^5 + 4 x^6 z^6 + 8 x^5 y^7 + 10 x^5 y^6 z - 5 x^5 y^5 z^2 - 15 x^5 y^4 z^3 - 18 x^5 y^3 z^4 - 5 x^5 y^2 z^5 + 5 x^5 y z^6 + 4 x^4 y^8 + 5 x^4 y^7 z - 6 x^4 y^6 z^2 - 18 x^4 y^5 z^3 - 30 x^4 y^4 z^4 - 15 x^4 y^3 z^5 + 8 x^4 y^2 z^6 + 2 x^3 y^7 z^2 + 3 x^3 y^6 z^3 - 15 x^3 y^5 z^4 - 18 x^3 y^4 z^5 + 3 x^3 y^3 z^6 + 5 x^3 y^2 z^7 + 5 x^2 y^7 z^3 + 8 x^2 y^6 z^4 - 5 x^2 y^5 z^5 - 6 x^2 y^4 z^6 + 2 x^2 y^3 z^7 + 5 x y^6 z^5 + 10 x y^5 z^6 + 5 x y^4 z^7 + 4 y^6 z^6 + 8 y^5 z^7 + 4 y^4 z^8\ge 0 }\)
Łatwo widać, że ta nierówność jest prawdziwa, co kończy dowód.
A tak na serio, ma ktoś istotne wnioski w tym problemie? Ja się poddałem, wypadam jak Kubica na zakrętach.
-
- Użytkownik
- Posty: 926
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 274 razy
Re: nierówność z trzema niewiadomymi
Zastosowanie nierówności Sedrakyana?
Dodano po 2 godzinach 8 minutach 12 sekundach:
\(\displaystyle{ \sum_{\mathrm{cyc}} \frac{a}{1 + b} \ge \frac{(a + b + c)^2}{a + b + c + ab + bc + ca}}\)
Dodano po 2 godzinach 8 minutach 12 sekundach:
\(\displaystyle{ \sum_{\mathrm{cyc}} \frac{a}{1 + b} \ge \frac{(a + b + c)^2}{a + b + c + ab + bc + ca}}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: nierówność z trzema niewiadomymi
Niestety, to szacowanie jest zdecydowanie za słabe, tego już próbowałem. Dla \(\displaystyle{ a=b=10, \ c=\frac{1}{100}}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c+ab+bc+ca}=\frac{\left(20+\frac{1}{100}\right)^{2}}{20+\frac{1}{100}+100+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}}<\frac{(21)^{2}}{120}=\frac{441}{120}}\) oraz
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3(a+b+c)}}{2}=\frac{\sqrt{60+\frac{3}{100}}}{2}>\frac{15}{4}=3,75>\frac{441}{120}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c+ab+bc+ca}=\frac{\left(20+\frac{1}{100}\right)^{2}}{20+\frac{1}{100}+100+\frac{1}{10}+\frac{1}{10}}<\frac{(21)^{2}}{120}=\frac{441}{120}}\) oraz
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3(a+b+c)}}{2}=\frac{\sqrt{60+\frac{3}{100}}}{2}>\frac{15}{4}=3,75>\frac{441}{120}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Re: nierówność z trzema niewiadomymi
Warto sobie na szybko sprawdzać typowch podejrzanych, zwłaszcza jeżeli w nierówności jest jakaś regularność (pełna symetria, cykliczność). Tu akurat, jeżeli weźmiemy \(\displaystyle{ a=b=\frac{1}{\sqrt{c}}=x}\), to możemy dość szybko zweryfikować, czy szacowanie ma szanse powodzenia. Ogólnie zaś, można próbować określić monotoniczność, policzyć granice dla małych czy dużych iksów, w miarę możliwości kazać wolframowi narysować wykres - wtedy często od razu wiadomo, czy jest sens z czymś próbować, czy szkoda pary.
Co do rozwiązania, to nie potrafię tego zrobić porządnie, niestety. Zamordować potrafię.
Co do rozwiązania, to nie potrafię tego zrobić porządnie, niestety. Zamordować potrafię.
Ukryta treść: