Wartość wyrażenia

[qwerty355]

Witam, mam problem z następującym zadaniem:
Niech \(\displaystyle{ a = \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{2 + \sqrt{3} } }\) oraz \(\displaystyle{ b = \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + ...} } } } }\). Oblicz wartość \(\displaystyle{ a^{2b} }\).
Obliczyłem \(\displaystyle{ a}\) podnosząc obustronnie do kwadratu i stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy. Wyszło mi \(\displaystyle{ a = \sqrt{6} }\). Mam jednak problem z obliczeniem wartości \(\displaystyle{ b}\). Myślę, że będzie to suma szeregu geometrycznego, jednak nie wiem, jak wyznaczyć pierwszy wyraz i różnicę tego szeregu. Mógłby ktoś mnie naprowadzić?

[Janusz Tracz]

Rozważ ciąg \(\displaystyle{ b_n= \sqrt{6+ b_{n-1} } }\) przy czym \(\displaystyle{ b_1= \sqrt{6} }\). Spróbuj pokazać, że:

\(\displaystyle{ \bullet}\) ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) jest ograniczony,

\(\displaystyle{ \bullet}\) ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) jest monotoniczny.

Zatem ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) ma granicę \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }b_n=b }\), policzymy ów granicę.

[qwerty355]

Nie bardzo wiem, jak mam to zrobić... Ciąg jest rosnący, bo \(\displaystyle{ b_2 = \sqrt{6 + \sqrt{6} } }\), czyli \(\displaystyle{ b_2 > b_1 }\) . Czyli iloraz ciągu to \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{6 + \sqrt{6} }}{ \sqrt{6} } }\) ?

[Janusz Tracz]

Nie bardzo wiem, jak mam to zrobić

Ale co konkretnie?

Ciąg jest ograniczony z dołu przez \(\displaystyle{ 0}\) z góry przez \(\displaystyle{ 3}\). Ograniczenie dolne jest oczywiste, a górne wynika np. z próby przepchnięcia dowodu indukcyjnego, że \(\displaystyle{ b_n}\) faktycznie jest ograniczony. Jeśli \(\displaystyle{ b_n \le M}\) to

\(\displaystyle{ b_{n+1}= \sqrt{b_n+6} \le \sqrt{M+6}=M }\)

to się udaje gdy \(\displaystyle{ M=3}\), zatem \(\displaystyle{ M}\) jest ograniczeniem górnym jeszcze sprawdzamy czy \(\displaystyle{ \sqrt{6} \le 3 }\). Monotoniczność sprawdzamy z definicji czy spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ b_{n+1} \ge b_n}\) czyli innymi słowy \(\displaystyle{ \sqrt{b_n+6} \ge b_n}\)?

Ciąg jest rosnący, bo \(\displaystyle{ b_2 = \sqrt{6 + \sqrt{6} } }\), czyli \(\displaystyle{ b_2 > b_1 }\) .

Nie. Sprawdzenie jednego przypadku nie jest dowodem trudno nawet nabyć intuicji jak zachowuje się ten ciąg sprawdzając tylko \(\displaystyle{ 1}\) przypadek.

Czyli iloraz ciągu to \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{6 + \sqrt{6} }}{ \sqrt{6} } }\) ?

Nie. Tu nigdzie nie ma ciągu geometrycznego więc nie ma mowy o ilorazie.

[qwerty355]

Dowodu indukcyjnego jeszcze nie miałem, więc to rozwiązanie chyba nie na mój poziom... Czy potraktowanie tego wyrażenia jako szeregu geometrycznego i obliczenie jego sumy, jak pisałem o tym na początku, jest błędne? Myślałem o tym zadaniu raczej w tym kierunku, więc jeśli jest to możliwe, to prosiłbym o naprowadzenie właśnie na tę metodę - wyznaczenie pierwszego wyrazu i ilorazu.

[Jan Kraszewski]

Czy potraktowanie tego wyrażenia jako szeregu geometrycznego i obliczenie jego sumy, jak pisałem o tym na początku, jest błędne?

Przecież to nie jest ani szereg, ani geometryczny...

Można uprościć to rozwiązanie nieco oszukując. Możesz zauważyć, że

\(\displaystyle{ b= \sqrt{6+b}, }\)

skąd dostajesz

\(\displaystyle{ b^2=6+b}\)

czyli \(\displaystyle{ b=-2}\) lub \(\displaystyle{ b=3}\). Ale oczywiście \(\displaystyle{ b>0,}\) zatem \(\displaystyle{ b=3.}\)

To rozwiązanie jest oszukane o tyle, że korzystasz ze zbieżności ciągu \(\displaystyle{ b_n}\), opisanego przez Janusza Tracza, nie udowodniwszy uprzednio, że jest zbieżny, ale podejrzewam, że w Twojej sytuacji jest to oszustwo dopuszczalne.

JK

[Janusz Tracz]

Czy potraktowanie tego wyrażenia jako szeregu geometrycznego i obliczenie jego sumy, jak pisałem o tym na początku, jest błędne?

Do póki nie powiesz o sumę jakiego konkretnie ciągu geometrycznego chodzi to nikt nie będzie w stanie Ci powiedzieć czy robrze robisz. Niemniej jednak marne szanse by powiązać to z sumą szeregu geometrycznego jakiegoś (mistycznego szeregu z kapelusza). W jakim kontekście pojawiło się to zadanie? Być może chodziło o nonszalanckie rozwiązanie.

nonszalanckie rozwiązanie:    

Jeśli \(\displaystyle{ b=\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + ...} } } }}\) to \(\displaystyle{ b= \sqrt{6+b} }\) równanie to ma rozwiązanie \(\displaystyle{ b=3}\) wszak \(\displaystyle{ 3= \sqrt{6+3} }\) zatem \(\displaystyle{ b=3}\).

[a4karo]

Nie bardzo wiem, jak mam to zrobić... Ciąg jest rosnący, bo \(\displaystyle{ b_2 = \sqrt{6 + \sqrt{6} } }\), czyli \(\displaystyle{ b_2 > b_1 }\) . Czyli iloraz ciągu to \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{6 + \sqrt{6} }}{ \sqrt{6} } }\) ?

Z faktu że `b_2>b_1` nie wynika, że ciąg jest rosnący. I, jak już wiesz, mówienie o iloczynie nie ma sensu

[Jan Kraszewski]

Być może chodziło o nonszalanckie rozwiązanie.

Jeśli to jest zadanie "szkolne", to oznaczenie \(\displaystyle{ b=\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + ...} } } }}\) można uznać dodatkową informację, że ciąg jest zbieżny... W analogiczny sposób zwija się w szkole ułamki okresowe.

JK

[Janusz Tracz]

Jan Kraszewski i właśnie dlatego uważam, że nonszalancja to lepsze określenie niż oszustwo dopuszczalne

[Jan Kraszewski]

Jan Kraszewski i właśnie dlatego uważam, że nonszalancja to lepsze określenie niż oszustwo dopuszczalne

A może zostaniemy przy eufemizmie "rozwiązanie szkolne"? Przecież szkoła nie oszukuje i nie jest nonszalancka, tylko przekazuje uczniom tyle matematycznej prawdy, ile są w stanie znieść...

JK

[Janusz Tracz]

A może zostaniemy przy eufemizmie "rozwiązanie szkolne"?

Ok na to się mogę zgodzić Chyba, że to było pytanie retoryczne... no dobra mniejsza z tym, koniec of.

[qwerty355]

Zapewne o takie rozwiązanie chodziło w tym zadaniu. Dziękuję obu Panom za pomoc.