Nierówność z II klasy LO

[janusz47]

Prosty elegancki dowód, opierający się na metodzie Leva Kourliandtczika.

[Premislav]

Prosty elegancki dowód, opierający się na metodzie Leva Kourliandtczika.

O nie, tak się pan nie wyślizgniesz. To nie jest wyjaśnienie dowodu, tylko bragging (zresztą w połączeniu z argumentum ad verecundiam), też tak potrafię:
wydaję jagodzianki w Gucci, wydaję jagodzianki w Louis… Powtórzę swoje pytanie w maksymalnie precyzyjnej formie: z jakiego twierdzenia wynika zacytowana przeze mnie poniżej nierówność?

\(\displaystyle{ \frac{(a+b+c)^4 - 324 (abc)}{324} \geq 0 }\)

Pominąłem zresztą jak dotąd oczywistą głupotę korzystania ze wzoru na różnicę kwadratów w dwie strony, co wygląda jak równoważne przekształcanie nierówności w poniższym stylu:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}\ge 2xy\\\Leftrightarrow x^{2}-2xy+y^{2}\ge 0\\\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\ge 2xy}\)
NB Imię Lev nie tak się odmienia, ale to marginalna kwestia.

[Premislav]

Potocznie zdarta płyta mówi się, gdy ktoś powtarza bez przerwy to samo (myślę, że jest to znacznie mniejszy nietakt niż nazwanie mnie Murzynkiem Bambo, o ile w ogóle jakikolwiek). W internecie (czy tam usenecie) wszyscy domyślnie są na „Ty", ja tytułuję „pan/pani" użytkowników, o których wiem, że mają co najmniej doktorat z nauk ścisłych lub mocno różniących się wiekiem i zarazem budzących mój szacunek (np. user kruszewski, z którym bez przerwy się nie zgadzam). Niestety jeśli chodzi o usera janusz47, czyli o Ciebie, ostatnia koniunkcja nie jest spełniona, a sprawa doktoratu jest dla mnie nieznana. Twój „dowód" nie daje się opisać jako „elegancki, prosty" (przy wystąpieniu sąsiadujących przymiotników zasadniczo stosujemy separator, standardowo przecinek, o czym mogłeś zapomnieć, podobnie jak o zasadach deklinacji), tylko niewart funta kłaków.

To żeby ludzie mieli to w jednym miejscu i żeby bardziej nie śmiecić dyskusją z użytkownikiem jamuszę47 (ja muszę napisać rozwiązanie, nieważne, czy poprawne, Hanka, potrzymaj mi piwo), rozpiszę \(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}\).
Rozważmy wielomian \(\displaystyle{ P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^{3}-(a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ca)x-abc \ (*)}\)
Widzimy, że \(\displaystyle{ P(a)=P(b)=P(c)=0}\), toteż
\(\displaystyle{ P(a)+P(b)+P(c)=0}\)
Korzystając z \(\displaystyle{ (*)}\), doprowadzamy tę ostatnią równość do formy
\(\displaystyle{ a^{3}-(a+b+c)a^{2}+(ab+bc+ca)a-abc+b^{3}-(a+b+c)b^{2}+(ab+bc+ca)b-abc+c^{3}-(a+b+c)c^{2}+(ab+bc+ca)c-abc=0\\a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\right)\\a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)\left((a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right)}\)
W celu rozwiązania tytułowego zadania (co najmniej przy dodatkowym założeniu \(\displaystyle{ \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\ge0}\), wystarcza też oczywiście mocniejsze założenie o nieujemności zmiennych) trzeba teraz tylko położyć powyżej \(\displaystyle{ a:=\sqrt[3]{a}, \ b:=\sqrt[3]{b}, \ c:=\sqrt[3]{c}}\),
a nieujemność prawej strony da nam wniosek, iż \(\displaystyle{ 3\sqrt[3]{abc}\le a+b+c=12}\), czyli \(\displaystyle{ \sqrt[3]{abc}\le 4}\), co podnosimy stronami do potęgi trzeciej i kończymy rozwiązanie zadania.

Chociaż w sumie nie wiem nawet, czy w drugiej klasie liceum są wielomiany, ja je miałem w pierwszym semestrze drugiej klasy, ale to było dawno (starość nie radość, młodość nie wieczność).

[janusz47]

Patrz dowód elegancki i prosty.

[Premislav]

\(\displaystyle{ \frac{(a+b+c)^4 - 324 (abc)}{324} \geq 0 }\)

Ta nierówność nie jest w ogólności prawdziwa (NB bardzo mnie dziwi akurat takie korzystanie z założeń, ponieważ zazwyczaj jeśli już idzie się podobnym tropem, to doprowadza się do wyrażenia jednorodnego). W celu konstrukcji kontrprzykładu ominę wymogi wątku, bo tak mi wygodniej:
z AM-GM mamy w dodatnich \(\displaystyle{ a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}}\) (inne uzasadnienie tej nierówności znajduje się w moim poprzednim poście w tym wątku), toteż
\(\displaystyle{ (a+b+c)^{4}\ge 81(abc)^{\frac{4}{3}}}\) i równość zachodzi dla \(\displaystyle{ a=b=c}\), jeśli więc dobierzemy takie dodatnie \(\displaystyle{ a,b,c}\), że zarazem zajdzie \(\displaystyle{ a=b=c}\) oraz \(\displaystyle{ 81(abc)^{\frac{4}{3}}<324abc}\), to mamy kontrprzykład w dodatnich.
To się sprowadza do nierówności \(\displaystyle{ a^{4}<4a^{3}}\), którą spełnia na przykład liczba \(\displaystyle{ a=2}\), zatem dla \(\displaystyle{ a=b=c=2}\)
nierówność \(\displaystyle{ \frac{(a+b+c)^4 - 324 (abc)}{324} \geq 0 }\) nie zachodzi. Oczywiście przy założeniu nt. dodatniości i założeniu \(\displaystyle{ a+b+c=12}\) już zachodzi, nie jest jednak w żaden sposób bardziej oczywista niż w pierwotnej formie.
To kompromitacja, żeby absolwent matematyki na czołowej polskiej uczelni popełniał takie błędy i jeszcze nie potrafił się przyznać do pomyłki, tylko powtarzał w pętli słowa, którymi nie da się opisać jego próby rozwiązania. Zawiodłeś jako człowiek i komunista, prosimy o samokrytykę partyjną, towarzyszu.

[janusz47]

Zachodzi dla \(\displaystyle{ abc\leq 64.}\)

[Premislav]

Zachodzi dla \(\displaystyle{ abc\leq 64}\).

Czy rozumiesz, że \(\displaystyle{ abc\le 64}\) to jest właśnie teza, którą mieliśmy udowodnić? Poza tym \(\displaystyle{ a=b=c=2}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ abc\le 64}\), ale nie spełniają nierówności, którą zacytowałem. Oczywiście nie spełniają też założenia na temat sumy, ale o nim nic tutaj nie pisałeś.

[janusz47]

Przekształcając tezę, wykorzystując założenie dowodzimy nierówności, która jest prawdziwa z nierównością \(\displaystyle{ abc\leq 64. }\)

[Premislav]

To nic nie wyjaśnia, równie dobrze można po prostu napisać „przekształcając równoważnie tezę, otrzymuję nierówność, która jest prawdziwa, bo tak, co kończy dowód". Poza tym sformułowanie „dowodzimy nierówności, która jest prawdziwa z nierównością…" jest niepoprawne gramatycznie.
Też zadziałam metodą zdartej płyty: z jakiego twierdzenia wynika zacytowana przeze mnie poniżej nierówność?

\(\displaystyle{ \frac{(a+b+c)^4 - 324 (abc)}{324} \geq 0 }\)

Tym bardziej jest to interesujące, że w żadnym momencie nie skorzystałeś (przynajmniej nie wysłowiłeś tego) z mocniejszych założeń niż oryginalne, a bosa_Nike wskazała już, że w tej wersji teza nie działa.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
W ramach bonusu dorzucę jeszcze jeden dowód nierówności \(\displaystyle{ abc\le 64}\) w dodatnich spełniających \(\displaystyle{ a+b+c=12}\).
Podstawmy \(\displaystyle{ a=4+4x, \ b=4+4y, \ c=4+4z}\), wówczas mamy \(\displaystyle{ x,y,z\in (-1, 2), \ x+y+z=0}\), a teza przyjmuje formę
\(\displaystyle{ (4x+4)(4y+4)(4z+4)\le 64\\(x+1)(y+1)(z+1)\le 1\\xyz+x+y+z+xy+yz+zx+1\le 1\\xyz+xy+yz+zx\le 0\\2xyz+2xy+2yz+2zx\le 0}\)
Teraz zauważmy, że \(\displaystyle{ xy+yz=-y^{2}, \ yz+zx=-z^{2}. \ zx+xy=-x^{2}}\), więc równoważnie dostajemy
\(\displaystyle{ 2xyz\le x^{2}+y^{2}+z^{2}}\)
Skoro \(\displaystyle{ x,y,z\in (-1, 2)}\) oraz \(\displaystyle{ x+y+z=0}\), to:
1) co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ x,y,z}\) jest niedodatnia (gdyby wszystkie one były dodatnie, to ich suma też byłaby dodatnia);
2) skoro tak, to co najmniej jedna z tych liczb należy do przedziału \(\displaystyle{ (-1, 0]}\), a więc jej kwadrat nie przekracza \(\displaystyle{ 1}\).
Bez straty ogólności niech \(\displaystyle{ z}\) będzie najmniejszą spośród liczb \(\displaystyle{ x,y,z}\), wówczas
\(\displaystyle{ z^{2}\le 1\\z^{2}y^{2}\le y^{2}\\x^{2}+z^{2}y^{2}+z^{2}\le x^{2}+y^{2}+z^{2}}\)
Ponieważ zaś
\(\displaystyle{ x^{2}+(yz)^{2}+z^{2}-2xyz=(x-yz)^{2}+z^{2}\ge 0}\), więc
\(\displaystyle{ 2xyz\le x^{2}+(yz)^{2}+z^{2}\le x^{2}+y^{2}+z^{2}}\),
co kończy dowód.

Jest on bardzo podobny do drugiego dowodu, który napisałem w tym temacie, ale może do kogoś łatwiej trafi w takiej formie.

[janusz47]

Panie Premislavie spokoju.

[Premislav]

Mowy nie ma. Jeśli chcesz mieć spokój, proponuję spacer, lekturę lub kawiarnię. Nie wyślizgniesz się, mości Januszu, przyznaj się do błędu lub wyjaśnij, proszę, z jakiego twierdzenia wynika zacytowana przeze mnie nierówność. Tak czynili scholastycy, ja tylko się wzoruję.

[janusz47]

Wyjaśniałem. Jeśli obraziłem za Murzynka Bamboo - przepraszam ( on jest taki ładny niewinny na zdjęciu). Żądam przeprosin za zdartą płytę.

[Premislav]

Nie wyjaśniłeś. Ponawiam prośbę o zacytowanie twierdzenia, z którego wynika wspomniana przeze mnie nierówność. Przepraszam również, nie uważam, żeby było to jakkolwiek obraźliwe, ale nie będę się o to spierać. Żeby obsługa forum nie usunęła tej wypowiedzi, zaproponuję jeszcze inne rozwiązanie:
udowodnimy w rzeczywistych dodatnich nierówność
\(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}+z^{3}\ge 3xyz}\)
Podzielmy powyższą nierówność stronami przez \(\displaystyle{ z^{3}}\). Otrzymujemy równoważną wyjściowej nierówność
\(\displaystyle{ \left(\frac{x}{z}\right)^{3}+\left(\frac{y}{z}\right)^{3}+1\ge 3\frac{x}{z}\cdot \frac{y}{z}}\)
Podstawmy teraz \(\displaystyle{ u=\frac{x}{z}, \ v=\frac{y}{z}}\), wtedy \(\displaystyle{ u,v>0}\), a dowodzona nierówność przyjmuje postać
\(\displaystyle{ u^{3}+v^{3}+1\ge 3uv }\)
Zauważmy teraz, że zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ u^{3}\ge \frac{3}{2}u^{2}-\frac{1}{2}}\). Równoważnie mamy bowiem:
\(\displaystyle{ 2u^{3}-3u^{2}+1\ge 0\\(u-1)^{2}(2u+1)\ge 0}\)
co jest oczywiste. Analogicznie dowodzimy nierówności \(\displaystyle{ v^{3}\ge \frac{3}{2}v^{2}-\frac{1}{2}}\)
i po dodaniu stronami mamy
\(\displaystyle{ u^{3}+v^{3}+1\ge \frac{3}{2}u^{2}+\frac{3}{2}v^{2}\ge 3uv}\)
przy czym ostatnia nierówność zwija się do oczywistej \(\displaystyle{ \frac{3}{2}\left(u-v\right)^{2}\ge 0}\).

Skoro mamy udowodnioną \(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}+z^{3}\ge 3xyz}\), to teraz kładziemy \(\displaystyle{ x:=\sqrt[3]{a}, \ y:=\sqrt[3]{b}, \ z:=\sqrt[3]{c}}\), podnosimy stronami do potęgi trzeciej i koniec.

[janusz47]

Nie mam co wyjaśniać - wyjaśniłem.

Proszę Pana faktem jest, że nadużywa Pan nierówności, myśląc, że każde zadanie można rozwiązać, stosując odpowiednie nierówności. Umiejętne stosowanie nierówności w matematyce to wielka sprawa. Ktoś powiedział " matematyka składa się z samych równości i nierówności". Ale w wielu przypadkach komplikują one prosty obraz rozwiązania zadania. Pan jak sam stwierdził lubi sobie rozwiązania komplikować.

[Premislav]

Nie tyle lubię sobie komplikować rozwiązania, co jestem za mało inteligentny, by znaleźć rozwiązania nieskomplikowane. Z tym nic nie można zrobić, no cóż, życie. Natomiast nierówności po prostu lubię, nie rozumiem też, co jest złego w korzystaniu z nierówności przy dowodzie nierówności, tym bardziej, że nie wyjechałem w tym wątku z jakimiś armatami, zgodnie z sugestią autora. Poza tym rozmowa nie tyczy się moich wad (które owszem istnieją), lecz uzasadnienia nierówności
\(\displaystyle{ \frac{(a+b+c)^{4}-324abc}{324}\ge 0}\)
Wyszedłeś od tezy, co oczywiście wolno czynić, o ile przekształca się równoważnie (i przekształcałeś równoważnie), lecz na końcu powinno się dojść bądź to do oczywistej nierówności (i najlepiej to skomentować), typu nieujemność sumy kwadratów, bądź do nierówności, którą uzasadnisz, powołując się na jakieś twierdzenie czy też przedstawiając jakieś rozumowanie. Nic takiego tutaj nie zaszło.