Nierówność z II klasy LO

[poetaopole]

Jeżeli \(\displaystyle{ a+b+c=12}\), to \(\displaystyle{ abc \le 64}\).
Wiadomo, że z zależności między średnimi wychodzi to w pół minuty, ale próbuję to rozwiązać elementarnie i nie daję rady... Może ktoś pomoże?

[bosa_Nike]

Bez dodatkowych założeń to jest nieprawda, weź \(\displaystyle{ a=-3,\ b=-2,\ c=17}\). Jeżeli mielibyśmy np. nieujemne zmienne, to
$$\begin{aligned}(a+b+c)^3-27abc&=\left(a+b+c-3\sqrt[3]{abc}\right)\left((a+b+c)^2+3(a+b+c)\sqrt[3]{abc}+9\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\right)\\&=\frac{1}{2}(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})\left(\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2+\left(\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{c}\right)^2+\left(\sqrt[3]{c}-\sqrt[3]{a}\right)^2\right)\\&\kern1em\times\left((a+b+c)^2+3(a+b+c)\sqrt[3]{abc}+9\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\right)\end{aligned}$$

[poetaopole]

Nie wygląda przyjemnie, ale dziękuję Biorę się za analizę tego...

[bosa_Nike]

To jest wzór na różnicę sześcianów, który jest zawsze prawdziwy, natomiast jego zastosowanie nie daje tezy zadania bez dodatkowych założeń. Piszę o tym, bo oczywiście zapomniałam dopisać \(\displaystyle{ "\ge 0"}\), a bez tego drugie zdanie w moim poprzednim poście jest generalnie głupie, mimo że prawdziwe.
Być może pamięć mnie zawodzi, ale wydaje mi się, że to \(\displaystyle{ a+b+c-3\sqrt[3]{abc}}\) miałeś już kiedyś rozpisane, poszukaj w swoich starych tematach.

[Premislav]

Można też tak (również zakładając dodatniość zmiennych): mamy
\(\displaystyle{ abc\le \left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}c=\frac{1}{4}c(12-c)^{2}}\)
Wiemy ponadto, że \(\displaystyle{ c\in (0,12)}\). Wystarczy dowieść, że w tym przedziale zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}c(12-c)^{2}\le 64}\), czyli równoważnie \(\displaystyle{ c(12-c)^{2}\le 256}\)
Jeśli był już rachunek różniczkowy, to fajnie, a jeśli nie, to rozkładamy po prostu na czynniki wielomian
\(\displaystyle{ P(c)=256-c(12-c)^{2}=-c^{3}+24c^{2}-144c+256=(c-4)^{2}(16-c)}\)
Z tej ostatniej formy już natychmiast widzimy, że \(\displaystyle{ P(c)\ge 0}\) w interesującym nas przedziale.
A do nierówności \(\displaystyle{ abc\le \left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}c}\) średnich znać nie trzeba (choć to de facto wynika z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną dla dwóch zmiennych), bo to się zwija do \(\displaystyle{ 0\le c\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}}\).

[poetaopole]

Ciągle czuje niedosyt

[Elayne]

Przyjmijmy założenie, że mamy dwie liczby naturalne \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) których suma wynosi \(\displaystyle{ 12.}\) Kiedy ich iloczyn jest największy? Czy można to uogólnić na dowolne liczby?

Ukryta treść:    

Brute force:
\(\displaystyle{ 1 \cdot 11 = 11 \\
2 \cdot 10 = 20 \\
3 \cdot 9 = 27 \\
4 \cdot 8 = 32 \\
5 \cdot 7 = 35 \\
6 \cdot 6 = 36 \\
7 \cdot 5 = 35 \\
…}\)
W zadaniu mamy trzy zmienne których suma wynosi \(\displaystyle{ 12.}\) Jeśli przyjmiemy, że są to liczby naturalne to rozwiązanie wydaje się proste: wystarczy podzielić \(\displaystyle{ 12}\) na \(\displaystyle{ 3}\) co da nam \(\displaystyle{ 4.}\) Największy iloczyn otrzymamy gdy te trzy zmienne mają wartość równa \(\displaystyle{ 4.}\).
\(\displaystyle{ 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64.}\)

[Premislav]

Elayne, ale skąd wziąłeś dodatkowe założenie, że te liczby są naturalne?

Inaczej: zakładamy jak wyżej, że \(\displaystyle{ a,b,c}\) są dodatnie. Skoro ich suma to \(\displaystyle{ 12}\), to wśród nich znajdziemy nie większą niż \(\displaystyle{ 4}\) i nie mniejszą niż \(\displaystyle{ 4}\), dla ustalenia uwagi niech będą to \(\displaystyle{ a, b}\). Wówczas mamy (zauważ, że jeden czynnik będzie nieujemny, a drugi niedodatni):
\(\displaystyle{ (a-4)(b-4)\le 0\\ ab\le 4a+4b-16\\ abc\le 4ac+4bc-16c=4c(12-c)-16c}\)
i teraz wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ 4c(12-c)-16c\le 64}\), a to jest nierówność kwadratowa, która elegancko się zwija do
\(\displaystyle{ 4(c-4)^{2}\ge 0}\)

[Elayne]

Jak słusznie to zauważyła bosa_Nike nie musi to być prawdziwe dla dowolnych liczb rzeczywistych, dlatego przyjąłem takie założenie.

[Premislav]

No OK, tylko że to założenie mi się wydaje mocno przesadzone, ponieważ w moim odczuciu trywializuje zadanie – wystarczy sprawdzić skończoną liczbę przypadków i jest to jak najbardziej wykonalne nawet bez kompa.

To żeby nie spamować, podam jeszcze trzecie swoje rozwiązanie zadania przy założeniu nieujemności zmiennych (czwarte w ogóle):
korzystając z warunku \(\displaystyle{ a+b+c=12}\), zapisujemy nierówność w postaci
\(\displaystyle{ ab(12-a-b)\le 64}\)
przy czym \(\displaystyle{ a+b<12}\), dalej mamy równoważnie
\(\displaystyle{ a^{2}b+ab^{2}-12ab+64\ge 0}\)
Dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ b>0}\) zachodzi nierówność (wiemy to dzięki znajomości trójmianów kwadratowych)
\(\displaystyle{ P_{b}(a)=a^{2}b+ab^{2}-12ab+64\ge P_{b}\left(\frac{12b-b^{2}}{2b}\right)\\=P_{b}\left(6-\frac{b}{2}\right)=\left(6-\frac{b}{2}\right)^{2}b+\left(6-\frac{b}{2}\right)b^{2}-12\left(6-\frac{b}{2}\right)b+64}\)
i pozostaje wykazać, że dla \(\displaystyle{ b\in(0,12)}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \left(6-\frac{b}{2}\right)^{2}b+\left(6-\frac{b}{2}\right)b^{2}-12\left(6-\frac{b}{2}\right)b+64\ge 0}\)
a to po pomnożeniu stronami przez cztery, dzięki zastosowaniu twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych (ponieważ interesują nas \(\displaystyle{ b}\) dodatnie z przedziału \(\displaystyle{ (0,12)}\), więc wystarczy sprawdzić \(\displaystyle{ 1,2,4,8}\)) i dzieleniu wielomianów, sprowadza się do
\(\displaystyle{ (b-4)^{2}\left(16-b\right)\ge 0}\)
co jest dość oczywiste.

To jest prawdopodobnie najbardziej toporne, ale w drugiej klasie liceum wszystkie pozostałe metody byłyby dla mnie zbyt finezyjne (wzory skróconego mnożenia oczywiście znałem, ale nie umiałem na tyle sprawnie się nimi posługiwać).

[janusz47]

\(\displaystyle{ (a + b + c = 12)\rightarrow (abc \leq 64) }\)

Dowód

\(\displaystyle{ 64 - abc \geq 0 }\)

\(\displaystyle{ (8 -\sqrt{abc})( 8 + \sqrt{abc}) \geq 0 }\)

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{18} (a+b+c)^2 - \sqrt{abc} \right ) \left(\frac{1}{18}(a+b+c)^2 +\sqrt{abc} \right) \geq 0 }\)

\(\displaystyle{ \frac{(a + b + c)^2 - 18\sqrt{abc}}{18} \cdot \frac{(a + b + c)^2 + 18\sqrt{abc}}{18} \geq 0 }\)

\(\displaystyle{ \frac{(a+b+c)^4 - 324 (abc)}{324} \geq 0 }\)

c.b.d.o.

[Niepokonana]

Czy to naprawdę jest z drugiej klasy liceum? Tak tylko pytam.
Czyli trzeba napisać założenia najpierw?

[Premislav]

janusz47, w jaki sposób stanowi to dowód tezy? Poproszę o wytłumaczenie.

[Niepokonana]

Ja rozumiem, co pan Janusz zrobił, tylko w mojej opinii to wyrażenie, które miał udowodnić, wziął sobie za założenie i nie wiem, czy tak można robić.

[Premislav]

Ja też rozumiem, co zrobił, tylko nie rozumiem, jak z tego ma wynikać teza.
Równoważne przekształcanie tezy jest jak najbardziej poprawne (choć niektórzy uznają, że nieeleganckie – ja się do nich nie zaliczam). Sęk w tym, że powinniśmy na drodze tych równoważnych przekształceń dojść do jakiejś oczywistości (typu nieujemność kwadratu liczby rzeczywistej) bądź do nierówności, którą uzasadnimy przedstawiając jakieś rozumowanie. Ani jedno, ani drugie tu nie nastąpiło.