Nierówność z II klasy LO

[timon92]

jeszcze inaczej, korzystając wyłącznie z \(\frac{x^2+y^2}{2}\ge xy\):
$$\sqrt[4]{4abc} = \sqrt[4]{4a}\cdot \sqrt[4]{bc} \le \frac{(\sqrt[4]{4a})^2+(\sqrt[4]{bc})^2}{2} = \frac{\sqrt{4a}+\sqrt{bc}}{2} \le \frac{\frac{4+a}{2}+\frac{b+c}{2}}{2} = \frac{2+\frac{a+b+c}{2}}{2}=\frac{2+\frac{12}{2}}{2}=4,$$
teraz podnosimy do potęgi czwartej, dzielimy przez cztery i gotowe

[janusz47]

timon92 autor postu zastrzegł sobie rozwiązanie zadania bez relacji między średnimi: arytmetyczną i geometryczną, bo jak sam stwierdził za pomocą tej relacji rozwiązuje się to zadanie w pół minuty.

[Premislav]

janusz47, bez przesady, nierówność między średnimi dla dwóch zmiennych miałem na kółku w gimnazjum i dowodzi się jej przez zwinięcie do kwadratu różnicy, jest też w podręczniku LO. Z kontekstu wynika, że autorowi chodzi o nieużycie nierówności między średnimi dla trzech zmiennych.

[kerajs]

Niech krawędzie \(\displaystyle{ a,b,c}\) prostopadłościanu spełniają warunek \(\displaystyle{ a+b+c=12}\).
Dla ustalonej wysokości \(\displaystyle{ c}\) objętość prostopadłościanu:
\(\displaystyle{ V=abc=ca(12-c-a)=c\left[ -(a- \frac{12-c}{2} )^2+(\frac{12-c}{2} )^2\right] }\)
jest największa gdy jego podstawa jest kwadratem (bo \(\displaystyle{ a=b=\frac{12-c}{2}}\))
Prostopadłościan o kwadratowej podstawie:
\(\displaystyle{ V=a^2c=a^2(12-2a)\\
V'(a)=24a-6a^2=6a(4-a)}\)
ma największą objętość gdy \(\displaystyle{ a=b=c=4}\)
Stąd:
a\(\displaystyle{ bc=V_{prostopad} \le 4^3=64}\)

PS:

[timon92]

janusz47, ale marudzisz

takie rozwiązanie cię urządza?
$$16-4\sqrt[4]{4abc}=a+b+c+4-4\sqrt[4]{4abc}=(\sqrt a-\sqrt b)^2+(\sqrt c-2)^2+2(\sqrt[4]{ab}-\sqrt[4]{4c})^2\ge 0 \implies 16 \ge 4\sqrt[4]{4abc}\implies 64\ge abc$$