Nierówność - hipoteza

[mol_ksiazkowy]

Wykaż lub obal:
\(\displaystyle{ ( \sqrt{x} + 2 \sqrt{y})^2 \geq \frac{(x+2y)^3}{x^2+2y^2} }\) dla \(\displaystyle{ x, y >0}\).

[Premislav]

Z nierówności Höldera mamy
\(\displaystyle{ \left(x^{2}+2y^{2}\right)^{\frac{1}{3}}\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)^{\frac{2}{3}}\ge x+2y}\)
Podnosimy to do potęgi trzeciej stronami, dzielimy przez \(\displaystyle{ x^{2}+2y^{2}}\) i koniec.