Rozwiązać równania:
i) \(\displaystyle{ x \{ x \} = \lfloor x \rfloor }\)
ii) \(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor \{ x \} = x }\)
iii) \(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor x = \{ x \} }\)
\(\displaystyle{ 2)}\)\(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor =n }\)
zatem równanie \(\displaystyle{ ii}\) upraszcza się do:
\(\displaystyle{ n(x-n)=x}\)
co jest prawdą dla \(\displaystyle{ x= \frac{n^2}{n-1} }\) przy czym \(\displaystyle{ n \neq 1}\) oraz \(\displaystyle{ x\in \left[ n,n+1\right) }\). Można sprawdzić, że dla \(\displaystyle{ n=1}\) równanie \(\displaystyle{ n(x-n)=x}\) nie ma rozwiązań. Ważne jest jeszcze aby określić dla jakich \(\displaystyle{ n}\) powyższe \(\displaystyle{ x}\) należą do dziedziny. W tym celu sprawdzamy kiedy \(\displaystyle{ n \le \frac{n^2}{n-1} <n+1 }\) warunek ten jest równoważny \(\displaystyle{ n \le 0}\). Zatem \(\displaystyle{ x\in \left\{\frac{n^2}{n-1}: n \le 0 \right\} }\)
iii:
Prawa strona jest ograniczona wszak jej wartości są z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right) }\) lewa strona "przypomina" parabolę przyjmuje wartości \(\displaystyle{ \left[ 0, \infty \right)}\). Aby lewa strona była ograniczona przez \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right) }\) wszak tam może zajść równość, ograniczamy się do \(\displaystyle{ x\in \left[ -1,1\right] }\). Sprawdzając krańca dziedziny widać, że ani \(\displaystyle{ -1}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\) nie są rozwiązaniami. Natomiast widać trywialne rozwiązanie \(\displaystyle{ x=0}\). Można teraz podzielić przedział na:
W pierwszym przedziale \(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor x =-x}\) a \(\displaystyle{ \left\{ x\right\} = x+1}\) wiec punkt \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2} }\) jest rozwiązaniem. Następnie zauważamy, że na drugim przedziale nie ma rozwiązań bo tam \(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor x =0}\). Czyli \(\displaystyle{ x\in\left\{ -\frac{1}{2},0 \right\} }\)
Dodano po 27 minutach 24 sekundach:
i:
Podobnie jak w \(\displaystyle{ ii}\) można rozważać przedział \(\displaystyle{ x\in \left[ n,n+1\right) }\) gdzie \(\displaystyle{ n\in \NN}\) wtedy równanie upraszcza się do \(\displaystyle{ x(x-n)=n}\) które ze względy na wyróżnik nie ma rozwiązań rzeczywistych gdy \(\displaystyle{ n<0}\), zatem przyjmijmy \(\displaystyle{ n \ge 0}\) wtedy istnieją dwa rozwiązania (prawie zawsze*) postaci:
Jednak \(\displaystyle{ \frac{n - \sqrt{n^2+4n} }{2}}\) dla żadnego \(\displaystyle{ n}\) nie znajduje się w przedziale \(\displaystyle{ \left[ n,n+1\right) }\) dlatego odrzucamy je. Natomiast \(\displaystyle{ \frac{n + \sqrt{n^2+4n} }{2}}\) należy do \(\displaystyle{ \left[ n,n+1\right) }\) dla \(\displaystyle{ n \ge 0}\) (czyli nie wnosi to nic nowego bo i tak rozważaliśmy \(\displaystyle{ n \ge 0}\)) zatem rozwiązaniami się liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ \frac{n + \sqrt{n^2+4n} }{2}: n \ge 0\right\} }\)
