Dowód na nierówność.

[KotwButach]

Witam. Mam problem z udowodnieniem poniższej nierówności:

Udowodnij, że jeżeli:
\(\displaystyle{ y \ge 1 \wedge x \ge 1 }\) to: \(\displaystyle{ (x+ y)(x ^{2} -xy+y^{2}+3) \ge 2(x^{2}+xy+y^{2}+1) .}\)

Próbowałem na różne sposoby, np. żeby mieć po lewej stronie \(\displaystyle{ (x-1)(y-1) }\) i coś jeszcze, ale nie wychodzi. Proszę o podpowiedź.

[Premislav]

To się łatwo przekształca do postaci
\(\displaystyle{ (x+y-2)\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)+3(x+y)\ge 4xy+2}\)
a dalej, ponieważ \(\displaystyle{ x^{2}-xy+y^{2}=(x-y)^{2}+xy}\) – do postaci
\(\displaystyle{ (x+y-2)(x-y)^{2}+xy(x+y-2)+3(x+y)\ge 4xy+2}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x\ge 1, \ y\ge 1}\), więc
\(\displaystyle{ (x+y-2)(x-y)^{2}+xy(x+y-2)+3(x+y)\\\ge xy(x+y-2)+3(x+y)\\\ge (x+y-1)(x+y-2)+3(x+y)\\=4(x+y)-2+(x+y-2)^{2}\\=(x+y)^{2}+2\\\ge 4xy+2}\)
Ostatnia nierówność jest równoważna \(\displaystyle{ (x-y)^{2}\ge 0}\), natomiast nierówność
\(\displaystyle{ xy(x+y-2)+3(x+y)\ge (x+y-1)(x+y-2)+3(x+y)}\) bierze się z:
\(\displaystyle{ (x+y-2)(x-1)(y-1)\ge 0}\)
Równość zachodzi, gdy \(\displaystyle{ x=y=1}\).

[KotwButach]

Dzięki