Nierówność z iloczynem wyrazów ciągu

[Thingoln]

Witajcie. Natrafiłem na takie oto zadanie:

Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ (1 + \frac{1}{3})(1 + \frac{1}{3^2})(1 + \frac{1}{3^4})\dots (1 + \frac{1}{3^{2^n}}) < \frac{3}{2}}\)

W rozwiązaniu autorzy proponują, aby pomnożyć obustronnie tę nierówność przez \(\displaystyle{ (1 - \frac{1}{3})}\) i rzeczywiście wówczas łatwo już dokończyć dowód. Czy macie jednak jakieś inne pomysły na podejście do tego zadania? Przyznam, że na to nie wpadłem, ale próbowałem coś kombinować ze średnimi, indukcja też nie pomogła, jednak fajnie, gdyby podejść do tego z jeszcze innej strony.

[Janusz Tracz]

Można zauważyć, że dla dodatnich \(\displaystyle{ x}\) zachodzi \(\displaystyle{ \prod_{k=0}^{n}\left( 1+ \frac{1}{x^{2^k}} \right) = \sum_{k=0}^{2^n-1} \frac{1}{x^k} }\) wtedy kładąc \(\displaystyle{ x=3}\) dostaniemy do pokazania, że:

\(\displaystyle{ \prod_{k=0}^{n}\left( 1+ \frac{1}{3^{2^k}} \right)=\sum_{k=0}^{2^n-1} \frac{1}{3^k}}\)

oczywiście jest to ciąg rosnący i dodatni gdy patrzymy na to kolejne \(\displaystyle{ n}\) dlatego najwięcej dostaniemy w granicy gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\) a wtedy:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{1}{3^k}= \frac{3}{2} }\)

co wynika z sumy szeregu geometrycznego. Zatem dla każdego \(\displaystyle{ n}\) mamy

\(\displaystyle{ \prod_{k=0}^{n}\left( 1+ \frac{1}{3^{2^k}} \right)=\sum_{k=0}^{2^n-1} \frac{1}{3^k}< \frac{3}{2} }\)

bo \(\displaystyle{ \frac{3}{2} }\) jest granicą.

Dodano po 13 minutach 24 sekundach:
Szacowanie przez \(\displaystyle{ \frac{3}{2} }\) jest dość ostre wręcz jest to najmniejsza liczba którą można szacować ten ciąg z góry. Można pokazać słabszy wynik za pomocą innej metody. Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ x>0}\) zachodzi \(\displaystyle{ 1+x<e^x}\) zatem:

\(\displaystyle{ \prod_{k=0}^{n}\left( 1+ \frac{1}{x^{2^k}} \right) <\exp \left( \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{x^{2^k}} \right)<\exp \left( \sum_{k=0}^{ \infty }\frac{1}{x^{2^k}} \right) }\)

kładąc \(\displaystyle{ x=3}\) dostajemy:

\(\displaystyle{ \prod_{k=0}^{n}\left( 1+ \frac{1}{3^{2^k}} \right) <\exp \left( \sum_{k=0}^{ \infty }\frac{1}{3^{2^k}} \right) }\)

oczywiście policzenie sumy \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{ \infty }\frac{1}{3^{2^k}}}\) nie jest łatwe (nie wiem czy jest to nawet możliwe by to sensownie zrobić) choć można ją przybliżyć \(\displaystyle{ 0,456943}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ \prod_{k=0}^{n}\left( 1+ \frac{1}{3^{2^k}} \right) <\exp \left(0,456943 \right) \approx 1,57924 }\)

oczywiście ta druga metoda nie rozwiązuje zadania ale czasem takie oszacowanie jest wystarczające.

[Thingoln]

Można zauważyć, że dla dodatnich \(\displaystyle{ x}\) zachodzi \(\displaystyle{ \prod_{k=0}^{n}\left( 1+ \frac{1}{x^{2^k}} \right) = \sum_{k=0}^{2^n-1} \frac{1}{x^k} }\)

Mogę się mylić, ale czy na pewno? Dla \(\displaystyle{ n = 0}\) nie jest spełnione

[Janusz Tracz]

Zgubiłem jedynkę przy \(\displaystyle{ n}\) powinno być \(\displaystyle{ \prod_{k=0}^{n}\left( 1+ \frac{1}{x^{2^k}} \right) = \sum_{k=0}^{2^{\red{n+1}}-1} \frac{1}{x^k} }\) nie zmienia to jednak w żaden sposób dalszego sposobu rozwiązania.

[Thingoln]

Dziękuję bardzo za pomoc, bardzo podoba mi się ten sposób, chociaż sam nie zauważyłbym tej równości. Jest to jedna z szerzej znanych, czy znaleziona w ramach tego zadania? Co do metody z liczbą \(\displaystyle{ e}\), to również wydaje się być ogólnie przydatna, postaram się o niej pamiętać, a może kiedyś pomoże przy jakimś zadaniu.

[Janusz Tracz]

Jest to jedna z szerzej znanych, czy znaleziona w ramach tego zadania?

Kilka lat temu na OM coś takiego było do udowodnienia ale już dokładnie nie pamiętam o co chodziło a teraz nie umiem tego znaleźć. Dlatego podstawiłem kilka \(\displaystyle{ n}\) pod lewą stronę i znalazłem wzór na potrzeby zadania.