Symbol dwumianowy, krótszy zapis

[vpprof]

Witajcie, czy komuś przychodzi do głowy jak krócej zapisać taką sumkę?

\(\displaystyle{ {n \choose k} + {n+1 \choose k} + \cdots + {n+x \choose k} }\)

Ja dochodzę tylko do takiego czegoś, co jest dziwaczne i nieprzydatne:

\(\displaystyle{ {n \choose k} \cdot \left(1+ \frac{n+1}{k'}+\frac{(n+1)(n+2)}{(k'+1)(k'+2)}+\cdots+
\frac{(n+1)(n+2)\cdots(n+x)}{(k'+1)(k'+2)\cdots(k'+x)} \right)}\)

gdzie oznaczyłem \(\displaystyle{ k' = \max(k,\ n-k)}\).

[kerajs]

\(\displaystyle{ ...= \sum_{i=0}^{x} {n+i \choose k} }\)

[Premislav]

Zakładam, że \(\displaystyle{ n\ge k}\). Mamy
\(\displaystyle{ \sum_{i=r}^{m}{i\choose r}={m+1\choose r+1}}\)
a zatem
\(\displaystyle{ \sum_{i=k}^{n+x}{i\choose k}={n+x+1\choose k+1}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sum_{i=k}^{n-1}{i\choose k}={n\choose k+1}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sum_{i=n}^{n+x}{i\choose k}={n+x+1\choose k+1}-{n\choose k+1}}\)

Dowód tożsamości \(\displaystyle{ \sum_{i=r}^{m}{i\choose r}={m+1\choose r+1}}\)
może być w pełni kombinatoryczny: wybieramy do przeczytania \(\displaystyle{ r+1}\) spośród \(\displaystyle{ m+1}\) stron książki.
Z jednej strony oczywiście możemy to uczynić na \(\displaystyle{ {m+1\choose r+1}}\) sposobów, zaś z drugiej możemy spojrzeć na ostatnią stronę, którą wybierzemy. Jeżeli będzie ona miała numer \(\displaystyle{ i+1, \ i\in \left\{r, \ldots m\right\}}\), to spośród poprzedzających \(\displaystyle{ i}\) stron musimy wybrać dokładnie \(\displaystyle{ r}\) stron do przeczytania na \(\displaystyle{ {i\choose r}}\) sposobów.

[vpprof]

O! Nie pomyślałem, żeby tę tożsamość wykorzystać, dzięki!