Zapisz układ równań i wyznacz boki trójkąta

[+pomocy+]

Dzień dobry
Nie wiem jak ugryźć takie zadanie. Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ma długość \(\displaystyle{ 7}\). Zapisz odpowiedni układ równań i wyznacz długości dwóch pozostałych boków, wiedząc, że wszystkie długości boków wyrażają się liczbami całkowitymi. Zapisałem taki układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} 49 + x^{2} = d^{2} \\ 7+ x+d=k\end{cases} }\), gdzie \(\displaystyle{ x,k,d \in \NN}\).

[Elayne]

Przyjmijmy założenie, że \(\displaystyle{ a =7.}\)
Z twierdzenia Pitagorasa, jeśli \(\displaystyle{ a^2 + b^2 = c^2}\) to:
\(\displaystyle{ a^2 = c^2 - b^2}\) co możemy rozłożyć na:
\(\displaystyle{ a^2 = (c + b)(c - b)}\)
Liczbę \(\displaystyle{ 49}\) możemy przedstawić jako iloczyn dwóch liczb na dwa sposoby:
\(\displaystyle{ 49 = 1 \cdot 49}\) oraz \(\displaystyle{ 49 = 7 \cdot 7.}\)
Zatem mamy tylko jedno rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 49 = (25 + 24)(25 - 24),}\) t.j. \(\displaystyle{ a = 7, b = 24, c = 25.}\)

[+pomocy+]

Dziękuje

[Elayne]

Końcówkę rozwiązania można zrobić też inaczej, korzystając ze wzoru wyrażającego związek między sumą, różnicą i iloczynem dwóch liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y:}\)

\(\displaystyle{ x \cdot y = \left(\frac{x + y}{2} \right)^2 - \left(\frac{x - y}{2} \right)^2 \\
49 \cdot 1 = \left(\frac{49 + 1}{2} \right)^2 - \left(\frac{49 - 1}{2} \right)^2 \\
49 \cdot 1 = 25^2 - 24^2}\)