Matematyka.pl

Witam, przygotowując się do matury (na szczęście nie tej tegorocznej ) znalazłem takie zadanie, którego nie potrafię rozwiązać:

Udowodnij, że jeżeli dodatnie liczby wymierne x, y, z spełniają równość
\(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} +z ^{2}=xyz }\) to liczba \(\displaystyle{ \sqrt{( x^{3}+yz)(y ^{3}+xz)(z ^{3}+yz) } }\)
jest też wymierna. Czy mogę prosić o pomoc w rozwiązaniu?

Można pokazać takie trzy równości:

\(\displaystyle{ x^3+yz=(xy−z)(zx−y)}\)

\(\displaystyle{ y^3+xz=(yz−x)(xy−z)}\)

\(\displaystyle{ z^3+xy=(zx−y)(yz−x)}\)

Potem wymnażamy je stronami i koniec.

Przykładowo pierwsza równość : masz \(\displaystyle{ x^2=xyz−y^2−z^2 }\) więc: \(\displaystyle{ x^3+xy=x(xyz−y^2−z^2)+xy=xyzx−xyy−zxz+xy=xy(zx-y)−z(zx−y)}\)

Dziękuję za pomoc, już rozumiem