Witam, przygotowując się do matury (na szczęście nie tej tegorocznej ) znalazłem takie zadanie, którego nie potrafię rozwiązać:
Udowodnij, że jeżeli dodatnie liczby wymierne x, y, z spełniają równość
\(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} +z ^{2}=xyz }\) to liczba \(\displaystyle{ \sqrt{( x^{3}+yz)(y ^{3}+xz)(z ^{3}+yz) } }\)
jest też wymierna. Czy mogę prosić o pomoc w rozwiązaniu?
Jeśli suma kwadratów jest równa...
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Re: Jeśli suma kwadratów jest równa...
Można pokazać takie trzy równości:
\(\displaystyle{ x^3+yz=(xy−z)(zx−y)}\)
\(\displaystyle{ y^3+xz=(yz−x)(xy−z)}\)
\(\displaystyle{ z^3+xy=(zx−y)(yz−x)}\)
Potem wymnażamy je stronami i koniec.
Przykładowo pierwsza równość : masz \(\displaystyle{ x^2=xyz−y^2−z^2 }\) więc: \(\displaystyle{ x^3+xy=x(xyz−y^2−z^2)+xy=xyzx−xyy−zxz+xy=xy(zx-y)−z(zx−y)}\)
\(\displaystyle{ x^3+yz=(xy−z)(zx−y)}\)
\(\displaystyle{ y^3+xz=(yz−x)(xy−z)}\)
\(\displaystyle{ z^3+xy=(zx−y)(yz−x)}\)
Potem wymnażamy je stronami i koniec.
Przykładowo pierwsza równość : masz \(\displaystyle{ x^2=xyz−y^2−z^2 }\) więc: \(\displaystyle{ x^3+xy=x(xyz−y^2−z^2)+xy=xyzx−xyy−zxz+xy=xy(zx-y)−z(zx−y)}\)