Jeśli suma kwadratów jest równa...

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Jkbk1467
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 8 wrz 2018, o 19:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra
Podziękował: 8 razy

Jeśli suma kwadratów jest równa...

Post autor: Jkbk1467 » 21 sty 2020, o 16:38

Witam, przygotowując się do matury (na szczęście nie tej tegorocznej :) ) znalazłem takie zadanie, którego nie potrafię rozwiązać:

Udowodnij, że jeżeli dodatnie liczby wymierne x, y, z spełniają równość
\(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} +z ^{2}=xyz }\) to liczba \(\displaystyle{ \sqrt{( x^{3}+yz)(y ^{3}+xz)(z ^{3}+yz) } }\)
jest też wymierna. Czy mogę prosić o pomoc w rozwiązaniu?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1450
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 460 razy

Re: Jeśli suma kwadratów jest równa...

Post autor: Psiaczek » 21 sty 2020, o 18:13

Można pokazać takie trzy równości:

\(\displaystyle{ x^3+yz=(xy−z)(zx−y)}\)

\(\displaystyle{ y^3+xz=(yz−x)(xy−z)}\)

\(\displaystyle{ z^3+xy=(zx−y)(yz−x)}\)

Potem wymnażamy je stronami i koniec.

Przykładowo pierwsza równość : masz \(\displaystyle{ x^2=xyz−y^2−z^2 }\) więc: \(\displaystyle{ x^3+xy=x(xyz−y^2−z^2)+xy=xyzx−xyy−zxz+xy=xy(zx-y)−z(zx−y)}\)

Jkbk1467
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 8 wrz 2018, o 19:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra
Podziękował: 8 razy

Re: Jeśli suma kwadratów jest równa...

Post autor: Jkbk1467 » 21 sty 2020, o 18:23

Dziękuję za pomoc, już rozumiem

ODPOWIEDZ