Wspólny mianownik

[Niepokonana]

Witam, proszę o pomoc, przepraszam, że tak dużo, ale natknęłam się na ciekawe zadanie i mi nie wychodzi.

Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c} }\), to przynajmniej dwie z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) są przeciwne.
Próbowałam przekształcić lewą stronę, ale nie wiem jak, żeby mianownik był \(\displaystyle{ a+b+c}\)

[Janusz Tracz]

Można policzyć różnicę tych ułamków

\(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - \frac{1}{a+b+c}= \frac{(a+b)(a+c)(b+c)}{abc(a+b+c)}=0 }\)

Więc \(\displaystyle{ a=-b \vee a=-c \vee b=-c}\)

[Niepokonana]

Nie rozumiem.

[a4karo]

Pokaz najpierw, że wszystkie trzy liczby nie mogą mieć takiego samego znaku

Potem możesz założyć, że `a,b>0,\ c<0` (uzasadnij dlaczego)

Przenieś `1/c` na prawo, sprowadź obie strony do wspólnych mianowników. Zobacz jakie równanie kwadratowe spełnia `c`

Dodano po 3 minutach 57 sekundach:
SPosób JT jest prostszy. Po prostu sprawdż, że zachodzi taka tożsamość (troche sie trzeba naliczyć)

[Niepokonana]

A że to trzeba tak jakby równanie.
A Pana sposobu nie rozumiem.

[kerajs]

Mam równanie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c} }\) gdzie \(\displaystyle{ abc \neq 0 \wedge a+b+c \neq 0}\)
Denerwują mnie ułamki więc obustronnie mnożę przez wszystkie mianowniki. Dostaję:
\(\displaystyle{ (a+b+c)(bc+ac+ab)=abc }\)
Jedną z liczb (konkretnie to \(\displaystyle{ a}\)) uznaję za niewiadomą, co mi daje równanie:
\(\displaystyle{ a^2(c+b)+a(b+c)(b+c)+(b+c)bc=0\\
(b+c)\left[ a^2+a(b+c)+bc\right]=0\\
(b+c)(a+b)(a+c)=0 }\)
Więc .....

[a4karo]

W sumie, to co napisałem było prawie jak kerajsowe:
$$\frac1a+\frac1b=\frac{1}{a+b+c}-\frac1c$$
$$\frac{a+b}{ab}=\frac{-(a+b)}{(a+b+c)c}$$
$$c^2+(a+b)c+ab=0$$
A rozwiązaniem tego ostatniego jest `c=-a` i `c=-b`
(W sumie te uwagi o znakach mogłem sobie darować)

[Niepokonana]

Proszę o niegotowe rozwiązania. Teraz już tylko trzeba napisać wnioski.

Dodano po 2 dniach 20 godzinach 2 minutach 55 sekundach:

Mam równanie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c} }\) gdzie \(\displaystyle{ abc \neq 0 \wedge a+b+c \neq 0}\)
Denerwują mnie ułamki więc obustronnie mnożę przez wszystkie mianowniki. Dostaję:
\(\displaystyle{ (a+b+c)(bc+ac+ab)=abc }\)
Jedną z liczb (konkretnie to \(\displaystyle{ a}\)) uznaję za niewiadomą, co mi daje równanie:
\(\displaystyle{ a^2(c+b)+a(b+c)(b+c)+(b+c)bc=0\\
(b+c)\left[ a^2+a(b+c)+bc\right]=0\\
(b+c)(a+b)(a+c)=0 }\)
Więc .....

A mógłby Pan bardziej szczegółowo opisać, jak przeszedł Pan od formy z ułamkami do formy bez ułamków? Pierwsza i druga linijka.

[Thingoln]

Mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}}\)
Mnożymy obustronnie przez iloczyn wszystkich mianowników, a więc przez \(\displaystyle{ a \cdot b \cdot c \cdot (a + b +c)}\), przez co otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{a \cdot b \cdot c \cdot (a + b +c)}{a} + \frac{a \cdot b \cdot c \cdot (a + b +c)}{b} + \frac{a \cdot b \cdot c \cdot (a + b +c)}{c} = \frac{a \cdot b \cdot c \cdot (a + b +c)}{a+b+c}}\)
A stąd, skracając mianowniki, mamy:
\(\displaystyle{ bc(a+b+c) + ac(a+b+c) + ab(a+b+c) = abc}\)
Myślę, że od tego momentu już wszystko jasne.