Nierówność z trzema niewiadomymi

[ann_u]

Niech \(\displaystyle{ a, b, c \in [-1, 1] }\) takie ze \(\displaystyle{ 1 + 2abc \ge a^2 + b^2 + c^2.}\)
Pokaż ze \(\displaystyle{ 1 + 2a^2b^2c^2 \ge a^4 + b^4 + c^4.}\)

[Premislav]

Widziałem na forum podobny trick (w 2017 roku), tylko dlatego udało mi się to rozwiązać.
Wiemy z treści zadania, że macierz
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc}1&a &b\\a&1&c\\b&c&1 \end{array} \right)}\)
jest nieujemnie określona. Istotnie, ma ona nieujemne minory główne:
\(\displaystyle{ 1\ge 0\\1-a^{2}\ge 0\\ \mathrm{det}\left(\begin{array}{ccc}1&a &b\\a&1&c\\b&c&1 \end{array} \right)=1+2abc-a^{2}-b^{2}-c^{2}\ge 0}\)
Z twierdzenia Schura:

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Schur_product_theorem

wynika, że nieujemnie określoną jest też macierz
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc}1&a^{2} &b^{2}\\a^{2}&1&c^{2}\\b^{2}&c^{2}&1 \end{array} \right)}\),
która jest produktem Hadamarda powyższej macierzy z nią samą,
a więc w szczególności jej wyznacznik jest nieujemny, czyli
\(\displaystyle{ 1+2(abc)^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}\ge 0}\), skąd teza.

[Dasio11]

Wiemy z treści zadania, że macierz
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc}1&a &b\\a&1&c\\b&c&1 \end{array} \right)}\)
jest nieujemnie określona. Istotnie, ma ona nieujemne minory główne:
\(\displaystyle{ 1\ge 0\\1-a^{2}\ge 0\\ \mathrm{det}\left(\begin{array}{ccc}1&a &b\\a&1&c\\b&c&1 \end{array} \right)=1+2abc-a^{2}-b^{2}-c^{2}\ge 0}\)

Warto dopisać sprawdzenie dla minorów głównych niewiodących:

\(\displaystyle{ 1-b^2 \ge 0 \\
1-c^2 \ge 0,}\)

w przeciwnym bowiem razie może powstać wrażenie skorzystania z fałszywego stwierdzenia, że do nieujemnej określoności macierzy wystarcza nieujemność minorów głównych wiodących.

[timon92]

bez straty ogólności przyjmijmy, że \(ab\ge 0\)

założenie przepisujemy w postaci
$$(1-a^2)(1-b^2)\ge (c-ab)^2 \qquad (\dagger)$$
mamy ze Schwarza i założeń
$$(1+a^2)(1+b^2)\ge (1+ab)^2 \ge (c+ab)^2 \qquad (\ddagger)$$
możemy pomnożyć \((\dagger)\) przez \((\ddagger)\), bo obie strony obu nierówności są nieujemne, to daje
$$(1-a^4)(1-b^4)\ge (c^2-a^2b^2)^2,$$
czyli tezę