nierówność z pierwiastkami

[ann_u]

Niech \(\displaystyle{ a,b,c >0}\) takie że \(\displaystyle{ abc=}\)1. Wykaż że
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+ \sqrt{3a+1}} + \frac{1}{1+ \sqrt{3b+1}} + \frac{1}{1+ \sqrt{3c+1}} \le 1 }\)

[Tmkk]

Ojej, dzięki Premislav. Zawsze wpakuje tego Jensena nie tak, gdzie trzeba... Chyba już za późno jest.

[Premislav]

Niestety, pierwsza nierówność zachodzi z przeciwnym zwrotem… z takim zwrotem zachodziłaby, gdyby funkcja była wklęsła.

[a4karo]

Co tu się stało? Podróże w czasie? Premislav napisał maila o 0:17, Tmkk podziękował za niego trzy minuty wcześniej... Dobrze , że ten rok już sie kończy.

[Premislav]

Rozważmy funkcję
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{1+\sqrt{3e^{x}+1}}}\).
Mamy
\(\displaystyle{ f'(x)=-\frac{\frac{3}{2}e^{x}}{\left(1+\sqrt{3e^{x}+1}\right)^{2}\sqrt{3e^{x}+1}}\\f''(x)=\frac{-\frac{3}{2}e^{x}\left(1+\sqrt{3e^{x}+1}\right)^{2}\sqrt{3e^{x}+1}+\frac{3}{2}e^{x}\left(\frac{3}{2}\frac{e^{x}}{\sqrt{3e^{x}+1}}\left(1+\sqrt{3e^{x}+1}\right)^{2}+\sqrt{3e^{x}+1}\cdot 2\left(1+\sqrt{3e^{x}+1}\right)\cdot \frac{3}{2}\frac{e^{x}}{\sqrt{3e^{x}+1}}\right)}{\left(3e^{x}+1\right)\left(1+\sqrt{3e^{x}+1}\right)^{4}}\\=\frac{-\frac{3}{2}e^{x}\left(1+\sqrt{3e^{x}+1}\right)\sqrt{3e^{x}+1}+\frac{3}{2}e^{x}\left(\frac{3}{2}\frac{e^{x}}{\sqrt{3e^{x}+1}}\left(1+\sqrt{3e^{x}+1}\right)+\sqrt{3e^{x}+1}\cdot 2\cdot \frac{3}{2}\frac{e^{x}}{\sqrt{3e^{x}+1}}\right)}{\left(3e^{x}+1\right)\left(1+\sqrt{3e^{x}+1}\right)^{3}}\\=\frac{\frac{3}{2}e^{x}}{\left(3e^{x}+1\right)\left(1+\sqrt{3e^{x}+1}\right)^{3}}\cdot \red{\left( -\left(1+\sqrt{3e^{x}+1}\right)\sqrt{3e^{x}+1}+\frac{3}{2}\frac{e^{x}}{\sqrt{3e^{x}+1}}\left(1+\sqrt{3e^{x}+1}\right)+3e^{x}\right)}}\)
Badamy teraz znak czerwonego wyrażenia. Dla uproszczenia sytuacji (oczywiście \(\displaystyle{ \sqrt{3e^{x}+1}}\) jest funkcją rosnącą jako złożenie funkcji rosnących) połóżmy \(\displaystyle{ t=\sqrt{3e^{x}+1}}\), wówczas czerwone wyrażenie przyjmuje formę
\(\displaystyle{ -(1+t)t+\frac{t^{2}-1}{2t}(1+t)+t^{2}-1=\frac{1}{2t}\left(-(1+t)2t^{2}+\left(t^{2}-1\right)(t+1)+2t^{3}-2t \right)\\=\frac{1}{2t}\left(t^{3}-t^{2}-3t-1\right) }\)
a tak się składa, że
\(\displaystyle{ t^{3}-t^{2}-3t-1=(t+1)\left(t-1+\sqrt{2}\right)\left(t-1-\sqrt{2}\right)}\)
Oczywiście nie może być
\(\displaystyle{ \sqrt{3e^{x}+1}=-1}\) ani \(\displaystyle{ \sqrt{3e^{x}+1}=1-\sqrt{2}}\), gdy \(\displaystyle{ x\in \RR}\), więc
jedynym punktem przegięcia funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest rozwiązanie równania
\(\displaystyle{ \sqrt{3e^{x}+1}=1+\sqrt{2}}\), tj. \(\displaystyle{ x_{0}=\ln\left(\frac{2}{3}\left(1+\sqrt{2}\right)\right) }\).

Teraz z mocnego twierdzenia od Hunga, który nazywał je Single Inflection Point Theorem (patrz:

Kod: Zaznacz cały

http://gil.ro/downloadable/download/sample/sample_id/1/

) wynika, że wystarczy udowodnić prawdziwość nierówności w przypadku, gdy pewne dwie z trzech naszych zmiennych są równe, a to pozwala zredukować problem do nierówności jednej zmiennej, która tak się przedstawia:
\(\displaystyle{ \frac{2}{1+\sqrt{3a+1}}+\frac{1}{1+\sqrt{\frac{3}{a}+1}}\le 1}\)
Można tutaj znów skorzystać z nieocenionego rachunku różniczkowego, co pozostawiam zainteresowanym.

[timon92]

redukcję do nierówności jednej zmiennej można przeprowadzić ''na palcach'':

jeśli \(x<y\) i \(xy\le 1\) to $$\frac{1}{1+\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{1+\sqrt{3y^2+1}}\le \frac{2}{1+\sqrt{3xy+1}} \iff \\
\frac{1}{1+\sqrt{3x^2+1}}-\frac{1}{1+\sqrt{3xy+1}} \le \frac{1}{1+\sqrt{3xy+1}} - \frac{1}{1+\sqrt{3y^2+1}} \iff \\
\frac{1+\sqrt{3xy+1}-(1+\sqrt{3x^2+1})}{(1+\sqrt{3xy+1})(1+\sqrt{3x^2+1})} \le \frac{1+\sqrt{3y^2+1}-(1+\sqrt{3xy+1})}{(1+\sqrt{3y^2+1})(1+\sqrt{3xy+1})} \iff \\
\frac{\sqrt{3xy+1}-\sqrt{3x^2+1}}{(1+\sqrt{3x^2+1})} \le \frac{\sqrt{3y^2+1}-\sqrt{3xy+1}}{(1+\sqrt{3y^2+1})} \iff \\
\frac{(3xy+1)-(3x^2+1)}{(1+\sqrt{3x^2+1})(\sqrt{3xy+1}+\sqrt{3x^2+1})} \le \frac{(3y^2+1)-(3xy+1)}{(1+\sqrt{3y^2+1})(\sqrt{3y^2+1}+\sqrt{3xy+1})} \iff \\
\frac{3x(y-x)}{(1+\sqrt{3x^2+1})(\sqrt{3xy+1}+\sqrt{3x^2+1})} \le \frac{3y(y-x)}{(1+\sqrt{3y^2+1})(\sqrt{3xy+1}+\sqrt{3y^2+1})} \iff \\
\frac{x}{(1+\sqrt{3x^2+1})(\sqrt{3xy+1}+\sqrt{3x^2+1})} \le \frac{y}{(1+\sqrt{3y^2+1})(\sqrt{3xy+1}+\sqrt{3y^2+1})} \iff \\
x(1+\sqrt{3y^2+1})(\sqrt{3xy+1}+\sqrt{3y^2+1}) \le y(1+\sqrt{3x^2+1})(\sqrt{3xy+1}+\sqrt{3x^2+1}) \iff \\
x\sqrt{3xy+1}+x\sqrt{3y^2+1}+x\sqrt{3y^2+1}\sqrt{3xy+1}+x(3y^2+1) \le y\sqrt{3xy+1}+y\sqrt{3x^2+1}+y\sqrt{3x^2+1}\sqrt{3xy+1}+y(3x^2+1) \iff \\
3xy(y-x) \le (1+\sqrt{3xy+1})(y\sqrt{3x^2+1}-x\sqrt{3y^2+1}) + (y-x)(1+\sqrt{3xy+1}) \iff \\
3xy(y-x) \le (1+\sqrt{3xy+1})\cdot\frac{y^2(3x^2+1)-x^2(3y^2+1)}{y\sqrt{3x^2+1}+x\sqrt{3y^2+1}} + (y-x)(1+\sqrt{3xy+1}) \iff \\
3xy(y-x) \le (1+\sqrt{3xy+1})\cdot\frac{y^2-x^2}{y\sqrt{3x^2+1}+x\sqrt{3y^2+1}} + (y-x)(1+\sqrt{3xy+1}) \iff \\
3xy \le (1+\sqrt{3xy+1})\cdot\frac{y+x}{y\sqrt{3x^2+1}+x\sqrt{3y^2+1}} + 1+\sqrt{3xy+1},$$ a to jest prawda gdyż $$RHS > 1+\sqrt{3xy+1} \ge 3xy = LHS$$ na mocy założenia \(xy\le 1\)

w takim razie wystarczy rozważyć przypadek \(a=b\le 1\), \(c=\frac 1{a^2}\), a to też można zrobić gołymi rękami:
$$\frac{2}{1+\sqrt{3a+1}}+\frac{1}{1+\sqrt{3\cdot \frac{1}{a^2}+1}} \le 1 \iff \\
\frac{2}{1+\sqrt{3a+1}}+\frac{a}{a+\sqrt{3+a^2}} \le 1 \iff \\
\frac{2}{1+\sqrt{3a+1}}\le \frac{\sqrt{3+a^2}}{a+\sqrt{3+a^2}} \iff \\
\frac{2(\sqrt{3a+1}-1)}{(3a+1)-1}\le \frac{\sqrt{3+a^2}(\sqrt{3+a^2}-a)}{(3+a^2)-a^2} \iff \\
\frac{2(\sqrt{3a+1}-1)}{a}\le \sqrt{3+a^2}(\sqrt{3+a^2}-a) \iff \\
2\sqrt{3a+1}-2\le a(3+a^2-a\sqrt{3+a^2}) \iff \\
2\sqrt{3a+1}+a^2\sqrt{3+a^2} \le 2+3a+a^3 \iff \\
4(3a+1)+a^4(3+a^2)+4a^2\sqrt{(3a+1)(3+a^2)} \le 4+9a^2+a^6+12a+4a^3+6a^4 \iff \\
4a^2\sqrt{(3a+1)(3+a^2)} \le 9a^2+a^3+6a^4 \iff \\
16(3a+1)(a^2+3)\le 81+a^2+36a^4+18a+12a^3+108a^2 \iff \\
36a^3+126a\le 36a^4+93a^2+33,$$ a to już wychodzi z nierówności między średnimi: \(36a^3\le 18a^4+18a^2\) oraz \(126a \le 18a^4+75a^2+33\)