Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ a,b,c>0, a+b+c=3}\). Pokaż że \(\displaystyle{ a+ab+2abc \le \frac{9}{2} .}\)

To więc zarzucę ci podpowiedź, że z nierówności pomiędzy średnią geometryczną i arytmetyczną mamy, że:
\(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc} \Rightarrow 2 \ge 2abc}\)

Gdzie się podziała czwartą niewiadoma?

Nie wiem jak edytowac tytuł.
Jak wykorzystać tę podpowiedź?

Wstawmy \(\displaystyle{ c=3-a-b}\). Nierówność przyjmuje formę:
\(\displaystyle{ a+ab+2ab(3-a-b)\le \frac{9}{2}\\a+7ab-2a^{2}b-2ab^{2}\le \frac{9}{2} }\)
przy czym \(\displaystyle{ a,b>0, a+b<3}\).
Potraktujmy to jak nierówność kwadratową zmiennej \(\displaystyle{ a}\) z parametrem \(\displaystyle{ b}\):
\(\displaystyle{ -2b\cdot a^{2}+\left(-2b^{2}+7b+1\right)a-\frac{9}{2}\le 0}\)
Maksimum lewej strony przy ustalonym \(\displaystyle{ b>0}\) jest przyjmowane w wierzchołku, czyli dla \(\displaystyle{ a_{0}=\frac{-2b^{2}+7b+1}{4b}}\).
Wystarczy więc wykazać, że dla \(\displaystyle{ b\in (0,3)}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ -2b\cdot \left(\frac{-2b^{2}+7b+1}{4b}\right)^{2}+\frac{\left(-2b^{2}+7b+1\right)^{2}}{4b} -\frac{9}{2}\le 0\\\frac{\left(-2b^{2}+7b+1\right)^{2}}{8b} -\frac{9}{2}\le 0\\\left(-2b^{2}+7b+1\right)^{2}-36b\le 0}\)
Traktujemy to ostatnie wyrażenie jak funkcję zmiennej \(\displaystyle{ b}\), różniczkujemy skrupulatnie i dostajemy pochodną równą
\(\displaystyle{ 16b^{3}-84b^{2}+90b-22=16(b-1)\left(b^{2}-\frac{17}{4}b+\frac{11}{8}\right)}\)
Po krótkich rozważaniach wychodzi, że maksimum na przedziale \(\displaystyle{ (0,3)}\) jest przyjmowane dla \(\displaystyle{ b=1}\) i jest równe zero, a wtedy wracając mamy
\(\displaystyle{ a=\frac{-2b^{2}+7b+1}{4b}=\frac{3}{2}, \ c=3-a-b=\frac{1}{2}}\).
Brzydkie, ale skuteczne…

Dodano po 1 minucie 59 sekundach:
NB Byłby szacunek ludzi ulicy, gdyby ktoś to udowodnił przez ujednorodnienie, bo bardzo brzydkie rzeczy mi wychodziły i nie wiedziałem, jak to oszacować.

Dodano po 6 minutach 12 sekundach:
Dobra, tutaj jeszcze trzeba uważać, gdy \(\displaystyle{ b}\) jest bardzo małe, ale można się przed tym wybronić w ten sposób, że np. gdy \(\displaystyle{ b\le \frac{1}{9}}\), to
\(\displaystyle{ a+ab+2abc\le a+\frac{1}{9}a+\frac{2}{9}ab<\frac{10}{9}a+\frac{(a+b+c)^{2}}{9}<\frac{10}{3}+1<\frac{9}{2}}\)

\(\displaystyle{ a + ab + 2abc \le \frac{9}{2} \\
a(1 + b + 2bc) \le \frac{9}{2} \\
a(1 + b(1 + 2c)) \le \frac{9}{2}}\)

Jeśli \(\displaystyle{ (a-b)^2 \ge 0}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}(a+b)^2 \ge ab.}\) Ponadto z warunku \(\displaystyle{ a + b + c = 3}\) mamy \(\displaystyle{ b = 3 - a - c.}\)
\(\displaystyle{ b(1 + 2c) = \frac{2b}{2} \cdot (1 + 2c) \le \frac{1}{8}(2b + 1 + 2c)^2 = \frac{1}{8}(2(3 - a - c) + 1 + 2c)^2 = \frac{1}{8}(7 - 2a)^2}\)
Zatem nierówność możemy zapisać tak:
\(\displaystyle{ a(1 + \frac{1}{8}(7 - 2a)^2) \le \frac{9}{2}}\)
…