Nieskończony układ

[mol_ksiazkowy]

Rozwiazać nieskończony układ:
\(\displaystyle{ x \left( 1 - \frac{1}{2^{n-1}}\right) + y \left( 1 - \frac{1}{2^{n}}\right) + z \left( 1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right) = 0}\) dla \(\displaystyle{ n=2, 3, 4, ...}\)

[Premislav]

Przypuśćmy, że trójka \(\displaystyle{ (x,y, z)}\) stanowi rozwiązanie układu. Zauważmy, że musi być \(\displaystyle{ x+y+z=0}\).
\(\displaystyle{ x+y+z}\) jest bowiem granicą ciągu \(\displaystyle{ a_{n}=x\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)+y\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)+z\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)}\), co wynika wprost z tw. o arytmetyce granic, a z drugiej zaś strony wiemy, że jest to ciąg stale równy zero, więc i jego granica wynosi zero.
Czyli wiemy np. że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=0\\\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y+\frac{7}{8}z=0\end{cases}}\),
a stąd już łatwo wyliczyć, że rozwiązania muszą być postaci
\(\displaystyle{ (t,-3t, 2t), t\in\RR }\)
i wstawiając do każdego równania, widzimy, że liczby takie spełniają nasz układ.