równanie i układ równań

[min4max]

1.
\(\displaystyle{ \sqrt{x-y+z} = \sqrt{x} - \sqrt{y} + \sqrt{z}}\)
gołym okiem widać że rozwiązania to \(\displaystyle{ \left( x=y \wedge z \ge 0\right) \vee\left( y = z \wedge x \ge 0\right) }\)
ale czy są jakieś inne?

2.
Uzasadnij że układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} \left| 1-x\right| = a \\ \left| x-y\right| = b \\ \left| y-1\right| =c \end{cases} }\)
gdzie \(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 > 0}\) i \(\displaystyle{ a,b,c\in\NN}\)
ma 2 rozwiązania lub jest sprzeczny.
Podaj warunki istnienia rozwiązań.

3. udowodnij że jeśli liczby \(\displaystyle{ a,b,c d}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ a<b<c<d}\)
to równanie \(\displaystyle{ (x-a)(x-b) + (x-c)(x-d) = 0}\) ma zawsze 2 rozwiązania w liczbach rzeczywistych

4.Udowodnij że gdy liczby dodatnie \(\displaystyle{ p, q, r}\) spełniają nierówność \(\displaystyle{ p+q+r < 12}\) to conajmniej 1 równaine nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych
\(\displaystyle{ x^2 + px + q = 0}\)
\(\displaystyle{ x^2 + qx + r = 0}\)
\(\displaystyle{ x^2 + rx + p = 0}\)

5.
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ x^2 - (390-c)x + 60c = 0}\) gdzie \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, c}\) to boki trójkąta prostokątnego

[Dilectus]

1.
\(\displaystyle{ \sqrt{x-y+z} = \sqrt{x} - \sqrt{y} + \sqrt{z}}\)
gołym okiem widać że rozwiązania to \(\displaystyle{ \left( x=y \wedge z \ge 0\right) \vee\left( y = z \wedge x \ge 0\right) }\)
ale czy są jakieś inne?

Rozwiązaniem czego? Jedno równanie z trzema niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań.

[min4max]

1.
\(\displaystyle{ \sqrt{x-y+z} = \sqrt{x} - \sqrt{y} + \sqrt{z}}\)
gołym okiem widać że rozwiązania to \(\displaystyle{ \left( x=y \wedge z \ge 0\right) \vee\left( y = z \wedge x \ge 0\right) }\)
ale czy są jakieś inne?

Rozwiązaniem czego? Jedno równanie z trzema niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Przepraszam, mój błąd.
"znajdz wszystkie trójki liczb spełniających równość" brzmi chyba trochę lepiej.

[Jan Kraszewski]

Rozwiązaniem czego?

Skoro jest napisane równanie, to równania.

Jedno równanie z trzema niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Po pierwsze, w ogólności to nieprawda (np \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=0}\)).
Po drugie, autor podał już nieskończenie wiele rozwiązań i pyta, czy to wszystkie.

JK

[Premislav]

1. Najpierw założenia: \(\displaystyle{ x\ge 0, \ y\ge 0, \ z\ge 0, \ y\le x+z, \ \sqrt{x}+\sqrt{z}\ge \sqrt{y}}\)
(NB tak naprawdę, to jeśli w nieujemnych jest \(\displaystyle{ y\le x+z}\), to od razu mamy \(\displaystyle{ \sqrt{y}\le \sqrt{x+z}\le \sqrt{x}+\sqrt{z}}\)).
Następnie przekształcamy do równoważnej postaci
\(\displaystyle{ \sqrt{x-y+z}+\sqrt{y}=\sqrt{x}+\sqrt{z}}\), po czym podnosimy stronami do kwadratu i po redukcji wyrazów podobnych mamy równoważne równanie:
\(\displaystyle{ 2\sqrt{x-y+z}\sqrt{y}=2\sqrt{x}\sqrt{z}}\). Dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ 2}\), jeszcze raz podnosimy stronami do kwadratu i dostajemy:
\(\displaystyle{ (x-y+z)y=xz}\)
a to możemy potraktować jak równanie kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ y: \ y^{2}-y(x+z)+xz=0}\)
Z tym sobie na pewno poradzisz (dopełnienie do wzorów skróconego mnożenia lub stara, dobra delta), dostajesz \(\displaystyle{ y=x\vee y=z}\).

[bosa_Nike]

3. Jakie rzeczywiste rozwiązania ma równanie `(x-1)(x-2)+(x-3)(x-4)=0`

[Premislav]

4. Przypuśćmy nie wprost, że w dodatnich jest \(\displaystyle{ p+q+r<12}\), ale wszystkie trzy równania mają rozwiązanie. Badając wyróżniki trójmianów, dostajemy kolejno:
\(\displaystyle{ p^{2}-4q\ge 0}\), toteż \(\displaystyle{ q\le \frac{p^{2}}{4}}\), a także
\(\displaystyle{ q^{2}-4r\ge 0}\), stąd \(\displaystyle{ r\le \frac{q^{2}}{4}\le \frac{p^{4}}{64}}\), wreszcie
\(\displaystyle{ r^{2}-4p\ge 0}\), czyli \(\displaystyle{ p\le \frac{r^{2}}{4}\le \frac{p^{8}}{16384}}\), innymi słowy \(\displaystyle{ p^{7}\ge 2^{14}}\) i stąd \(\displaystyle{ p\ge 4}\). Analogicznie udowadniamy, że \(\displaystyle{ q\ge 4, \ r\ge 4}\), zatem \(\displaystyle{ 12>p+q+r\ge 12}\), a to jest sprzeczność, która kończy dowód.

[a4karo]

Inaczej:

Ustalmy \(\displaystyle{ x\neq z>0}\).
Funkcja \(\displaystyle{ g:[0,x+z]\to\RR}\) zadana wzorem \(\displaystyle{ g(y)=\sqrt{x+z-y}+\sqrt{y}}\) jest ściśle wklęsła (jako suma dwóch funkcji wklęsłych) oraz symetryczna. Największą wartość przyjmuje zatem w środku przedziału a najmniejszą na końcach.

Mamy
\(\displaystyle{ g(0)=g(x+z)=\sqrt{x+z}<\sqrt{x}+\sqrt{y}}\) oraz \(\displaystyle{ g\left(\frac{x+z}{2}\right)=2\sqrt{\frac{x+z}{2}}>\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)

Ze ścisłej wklęsłości wynika istnienie dokładnie dwóch \(y\), takich, że \(g(y)=\sqrt{x}+\sqrt{y}\) i łatwo widać, że sa to punkty \(y=x\) i \(y=z\)

[min4max]

3. Jakie rzeczywiste rozwiązania ma równanie `(x-1)(x-2)+(x-3)(x-4)=0`

Przepraszam bardzo X_X
Powinno być \(\displaystyle{ (x-a)(x-c) + (x-b)(x-d) = 0 }\)

[a4karo]

3. Jakie rzeczywiste rozwiązania ma równanie `(x-1)(x-2)+(x-3)(x-4)=0`

Przepraszam bardzo X_X
Powinno być \(\displaystyle{ (x-a)(x-c) + (x-b)(x-d) = 0 }\)

No to wstaw \(x=c\) i pomyśl chwilkę.

[min4max]

3. Jakie rzeczywiste rozwiązania ma równanie `(x-1)(x-2)+(x-3)(x-4)=0`

Przepraszam bardzo X_X
Powinno być \(\displaystyle{ (x-a)(x-c) + (x-b)(x-d) = 0 }\)

No to wstaw \(x=c\) i pomyśl chwilkę.

Nie bardzo rozumiem w czym problem.
Trzeba udowodnić że jeśli \(\displaystyle{ a<b<c<d}\)
to równanie \(\displaystyle{ (x-a)(x-c) + (x-b)(x-d) = 0 }\)
czyli po wymnożeniu \(\displaystyle{ 2x^2 - x(a+b+c+d) + ac + bd = 0}\) ma 2 rozwiązania
Gdy \(\displaystyle{ x = c }\) to rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ c = b \vee c = d}\) czyli \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) nie spełniają tego warunku

[a4karo]

A jaka wartość ma to wyrażenie dla \(x=c\)?