Dowodzenie - wzory skróconego mnożenia

[qwerty355]

To podnoszenie to kwadratu to chyba jednak nie był dobry pomysł

To jest dobry pomysł. Aktualnie masz pokazać, że:

\(\displaystyle{ \frac{17 + 12 \sqrt{2} }{16}>2}\)

były dwa pierwiastki na początku a teraz jest jeden... więc połowiczny sukces. Wskazówka: przekształć a potem jeszcze raz do kwadratu.

Nie wiem, jak to mogę jeszcze przekształcić...

Dodano po 6 minutach 46 sekundach:

Ok, więc po obliczeniu wychodzi coś takiego: \(\displaystyle{ L^{2} = \left( \frac{3 + 2 \sqrt{2} }{4} \right) ^{2} = \frac{9 + 12 \sqrt{2} + 8}{16} = \frac{17 + 12 \sqrt{2} }{16} }\). To podnoszenie to kwadratu to chyba jednak nie był dobry pomysł...

Ale po co Ty w ogóle liczysz \(\displaystyle{ L^2}\) ?!

Dużo prościej było policzyć ze wzoru \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{ \sqrt{2} } \right)^{2} =\frac{3}{4} + \frac{ \sqrt{2} }{2} }\), co już wcześniej zrobiłeś, tylko potem zakopałeś się w zupełnie niepotrzebnych przekształceniach. Masz pokazać, że

\(\displaystyle{ \frac{3}{4} + \frac{ \sqrt{2} }{2}> \sqrt{2}, }\)

czyli

\(\displaystyle{ \frac{3}{4} > \frac{ \sqrt{2} }{2}. }\)

JK

\(\displaystyle{ \frac{3}{4} > \frac{ \sqrt{2} }{2}. }\)
tę nierówność mogę udowodnić podnosząc obustronnie do kwadratu?

Wyjdzie wtedy \(\displaystyle{ \frac{9}{16} > \frac{2}{4} }\)
czyli \(\displaystyle{ \frac{9}{16} > \frac{8}{16} }\)

Mogę już napisać, że L > P, czy trzeba to jeszcze jakoś odpowiednio skomentować?

[JHN]

\(\displaystyle{ \frac{17 + 12 \sqrt{2} }{16}>2\Leftrightarrow 12\sqrt{2}>2\cdot 16-17}\)

Pozdrawiam

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \frac{3}{4} > \frac{ \sqrt{2} }{2}. }\)
tę nierówność mogę udowodnić podnosząc obustronnie do kwadratu?

Możesz, ale pod warunkiem, że wiesz dlaczego...

Mogę już napisać, że L > P, czy trzeba to jeszcze jakoś odpowiednio skomentować?

Komentarz zawsze mile widziany...

Można bez podnoszenia do kwadratu:

\(\displaystyle{ \frac{3}{4} > \frac{ \sqrt{2} }{2}\\
3>2\sqrt{2}\\
\sqrt{9}> \sqrt{8} }\)

JK

[Niepokonana]

Jak podniosę do kwadratu to dostanę \(\displaystyle{ \frac{9}{4} >2}\) czyli \(\displaystyle{ 2,25>2}\) Nie rozumiem, co według Pana doktora robię źle.

[Jan Kraszewski]

Jak podniosę do kwadratu to dostanę \(\displaystyle{ \frac{9}{4} >2}\) czyli \(\displaystyle{ 2,25>2}\) Nie rozumiem, co według Pana doktora robię źle.

Ależ nic nie robisz źle. Po prostu pewne rzeczy zostawiasz bez uzasadnienia...

JK

[qwerty355]

\(\displaystyle{ \frac{3}{4} > \frac{ \sqrt{2} }{2}. }\)
tę nierówność mogę udowodnić podnosząc obustronnie do kwadratu?

Możesz, ale pod warunkiem, że wiesz dlaczego...

Mogę już napisać, że L > P, czy trzeba to jeszcze jakoś odpowiednio skomentować?

Komentarz zawsze mile widziany...

Można bez podnoszenia do kwadratu:

\(\displaystyle{ \frac{3}{4} > \frac{ \sqrt{2} }{2}\\
3>2\sqrt{2}\\
\sqrt{9}> \sqrt{8} }\)

JK

Dziękuję za wyjaśnienie. Co do tego, czy wiem dlaczego - chodzi o to, że obie strony nierówności mają ten sam znak, dlatego można je podnieść do kwadratu? (obie są dodatnie)

[Niepokonana]

Mi się wydaje, że tak będzie najprościej, bo tak to mamy małe liczby, a kończąc to, co pan Janusz zrobił to byśmy dostali \(\displaystyle{ 288>225}\)

Dodano po 1 minucie 32 sekundach:
Jak obie są nieujemne to można.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 > \sqrt{2} }\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 > \sqrt{2} }\)

\(\displaystyle{ \frac{(1 + \sqrt{2})^2}{4} > \sqrt{2} \ \ | \cdot 4 }\)

\(\displaystyle{ ( 1 + \sqrt{2})^2 > 4\sqrt{2} }\)

\(\displaystyle{ 1 + 2\sqrt{2} + 2 > 4\sqrt{2} }\)

\(\displaystyle{ 1 -2\sqrt{2} + 2 >0 }\)

\(\displaystyle{ (1 - \sqrt{2})^2 >0 }\) - prawda