Od paru dni męczę się z paroma nierównościami i nic mi nie przchodzi do głowy, byłby tu ktoś w stanie mi z tym pomóc?
1.
Udowodnij że dla dodatnich \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n} }\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{a _{1} }{S-a_{1}} + \frac{a _{2} }{S-a_{2}} + \frac{a _{3} }{S-a_{3}} + ... + \frac{a _{n} }{S-a_{n}} \ge \frac{n}{n-1} }\)
gdzie \(\displaystyle{ n \ge 2}\) oraz \(\displaystyle{ S = \sum_{i=1}^{n}a_{i} }\)
2.
Wykaż że dla dodatnich liczb \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},...a_{2016}}\) takich że \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{2016}a_{i} = 1 }\)
zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{2016}(a_{i}+2) \ge 2 ^{3024} }\)
3.
Udowodnij że dla \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{3}}\) dodatnich zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{a _{1}a_{2} }{a _{1}+a_{2} } + \frac{a _{2}a_{3} }{a _{2}+a_{3} } +\frac{a _{1}a_{3} }{a _{1}+a_{3} } \le \frac{1}{2}(a_{1}+a_{2}+a_{3}) }\)
Nierówności
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Nierówności
1. Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{S-x}}\) jest wypukła w przedziale \(\displaystyle{ (0,S)}\), gdyż
\(\displaystyle{ f''(x)=\frac{2S}{(S-x)^{3}}>0}\) dla \(\displaystyle{ x\in (0,S)}\), więc na mocy nierówności Jensena mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}\cdot \frac{a_{1}}{S-a_{1}}+\frac{1}{n}\cdot \frac{a_{2}}{S-a_{2}}+\ldots+\frac{1}{n}\cdot \frac{a_{n}}{S-a_{n}}\ge \frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}{n\left(S-\frac{1}{n}\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right)\right)}\\=\frac{S}{(n-1)S}=\frac{1}{n-1}}\).
Mnożymy stronami przez \(\displaystyle{ n}\) i po herbacie.
2. Mamy
\(\displaystyle{ a_{i}+2\ge 2\sqrt{2}a_{i}\Leftrightarrow \left(\sqrt{a_{i}}-\sqrt{2}\right)^{2}\ge 0}\), co jest oczywiste, mnożymy takie nierówności stronami dla \(\displaystyle{ i=1,2\ldots 2016}\), korzystamy z założenia o iloczynie i koniec.
Dodano po 6 minutach 5 sekundach:
3. Zauważmy, że \(\displaystyle{ \frac{a_{1}a_{2}}{a_{1}+a_{2}}\le \frac{\left(\frac{a_{1}+a_{2}}{2}\right)^{2}}{a_{1}+a_{2}}=\frac{a_{1}+a_{2}}{4}}\), podobnie robimy dla liczb \(\displaystyle{ a_{2}, a_{3}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{3}, a_{1}}\), dodajemy otrzymane nierówności stronami i koniec psot.
Dodano po 21 minutach 22 sekundach:
Jeszcze dodam, że szacowanie w zadaniu drugim da się poprawić przez \(\displaystyle{ 3^{2016}}\), gdyż z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną dla trzech zmiennych otrzymamy \(\displaystyle{ \frac{a_{i}+1+1}{3}\ge \sqrt[3]{a_{i}}}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2\ldots 2016}\) i takie nierówności też możemy wymnożyć stronami.
Ponadto (1. inaczej) jeśli nie znasz nierówności Jensena (choć warto ją poznać), to dorzucę inną metodę:
dodajmy obustronnie \(\displaystyle{ n}\) do tezy, a otrzymamy równoważną nierówność
\(\displaystyle{ \frac{S}{S-a_{1}}+\frac{S}{S-a_{2}}+\ldots+\frac{S}{S-a_{n}}\ge n+\frac{n}{n-1}}\)
Teraz zastosujmy nierówność między średnią arytmetyczną a harmoniczną:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{S-a_{1}}+\frac{1}{S-a_{2}}+\ldots+\frac{1}{S-a_{n}}}{n}\ge \frac{n}{S-a_{1}+S-a_{2}+\ldots+S-a_{n}}=\frac{n}{(n-1)S}}\)
Otrzymaną nierówność mnożymy stronami przez \(\displaystyle{ nS}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ \frac{S}{S-a_{1}}+\frac{S}{S-a_{2}}+\ldots+\frac{S}{S-a_{n}}\ge \frac{n^{2}}{n-1}}\)
Pozostaje zweryfikować równość \(\displaystyle{ \frac{n^{2}}{n-1}=n+\frac{n}{n-1}}\), co nie nastręcza większych trudności.
\(\displaystyle{ f''(x)=\frac{2S}{(S-x)^{3}}>0}\) dla \(\displaystyle{ x\in (0,S)}\), więc na mocy nierówności Jensena mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}\cdot \frac{a_{1}}{S-a_{1}}+\frac{1}{n}\cdot \frac{a_{2}}{S-a_{2}}+\ldots+\frac{1}{n}\cdot \frac{a_{n}}{S-a_{n}}\ge \frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}{n\left(S-\frac{1}{n}\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right)\right)}\\=\frac{S}{(n-1)S}=\frac{1}{n-1}}\).
Mnożymy stronami przez \(\displaystyle{ n}\) i po herbacie.
2. Mamy
\(\displaystyle{ a_{i}+2\ge 2\sqrt{2}a_{i}\Leftrightarrow \left(\sqrt{a_{i}}-\sqrt{2}\right)^{2}\ge 0}\), co jest oczywiste, mnożymy takie nierówności stronami dla \(\displaystyle{ i=1,2\ldots 2016}\), korzystamy z założenia o iloczynie i koniec.
Dodano po 6 minutach 5 sekundach:
3. Zauważmy, że \(\displaystyle{ \frac{a_{1}a_{2}}{a_{1}+a_{2}}\le \frac{\left(\frac{a_{1}+a_{2}}{2}\right)^{2}}{a_{1}+a_{2}}=\frac{a_{1}+a_{2}}{4}}\), podobnie robimy dla liczb \(\displaystyle{ a_{2}, a_{3}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{3}, a_{1}}\), dodajemy otrzymane nierówności stronami i koniec psot.
Dodano po 21 minutach 22 sekundach:
Jeszcze dodam, że szacowanie w zadaniu drugim da się poprawić przez \(\displaystyle{ 3^{2016}}\), gdyż z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną dla trzech zmiennych otrzymamy \(\displaystyle{ \frac{a_{i}+1+1}{3}\ge \sqrt[3]{a_{i}}}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2\ldots 2016}\) i takie nierówności też możemy wymnożyć stronami.
Ponadto (1. inaczej) jeśli nie znasz nierówności Jensena (choć warto ją poznać), to dorzucę inną metodę:
dodajmy obustronnie \(\displaystyle{ n}\) do tezy, a otrzymamy równoważną nierówność
\(\displaystyle{ \frac{S}{S-a_{1}}+\frac{S}{S-a_{2}}+\ldots+\frac{S}{S-a_{n}}\ge n+\frac{n}{n-1}}\)
Teraz zastosujmy nierówność między średnią arytmetyczną a harmoniczną:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{S-a_{1}}+\frac{1}{S-a_{2}}+\ldots+\frac{1}{S-a_{n}}}{n}\ge \frac{n}{S-a_{1}+S-a_{2}+\ldots+S-a_{n}}=\frac{n}{(n-1)S}}\)
Otrzymaną nierówność mnożymy stronami przez \(\displaystyle{ nS}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ \frac{S}{S-a_{1}}+\frac{S}{S-a_{2}}+\ldots+\frac{S}{S-a_{n}}\ge \frac{n^{2}}{n-1}}\)
Pozostaje zweryfikować równość \(\displaystyle{ \frac{n^{2}}{n-1}=n+\frac{n}{n-1}}\), co nie nastręcza większych trudności.