Liczba wymierna

[malymisio888]

Witam, taką zagwozdkę mam, czy \(\displaystyle{ 0,1(9)}\) jest liczbą wymierną? Byłem pewny, że tak, ale zrobiłem tak:

\(\displaystyle{ 0,1(9) = x\\
1,(9) = 10x\\
19,(9) = 100x\\
18=90x}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{18}{90} }\) co mozna zapisac jako \(\displaystyle{ 0,2}\) po prostu, gdzie robie błąd?

[Janusz Tracz]

Nie robisz błędu \(\displaystyle{ 0.1(9)=0.2}\) I jest to liczba wymierna

[janusz47]

\(\displaystyle{ 0,1(9) = 0,1999...}\) df. granicy ciągu sum \(\displaystyle{ \frac{1}{10}, \frac{1}{10}+ \frac{9}{10^2}, \frac{1}{10} + \frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3},...}\)

\(\displaystyle{ S_{n} = \frac{1}{10}+ \frac{9}{10^2}+ \frac{9}{10^3}+ \frac{9}{10^4}+...}\)

\(\displaystyle{ S_{n} \rightarrow g \in \RR, \ \ n\to \infty }\)

\(\displaystyle{ 10 S_{n} = 1 + \frac{9}{10} + \frac{9}{10^2}+ \frac{9}{10^3} +...= \frac{18}{10} + S_{n} }\)

Przechodząc do granicy przy \(\displaystyle{ n \to \infty }\)

\(\displaystyle{ 10g = \frac{18}{10} + g }\)

\(\displaystyle{ 9g = \frac{9}{5} }\)

\(\displaystyle{ g = \frac{1}{9}\cdot \frac{9}{5} = \frac{1}{5} = 0,2.}\)