Matematyka.pl

Aż wstyd się przyznać, ale utknąłem z taką oto nierównością:

przy \(\displaystyle{ |x|<1}\), \(\displaystyle{ m\in \NN }\)

\(\displaystyle{ 1-|x|<}\) \(\displaystyle{ \sqrt[m]{1+x}}\) \(\displaystyle{ <1+|x|}\)

Indukcja? Podnieść do potęgi \(\displaystyle{ m}\) i dwumian Newtona? Prawa nierówność wydaje się dużo prostsza, bo:
\(\displaystyle{ 1+x\le 1+|x|}\), wtedy dla \(\displaystyle{ m >1}\) mamy prawą nierówność.

Wykorzystaj wklęsłość pierwiastka

Dla \(\displaystyle{ x=0}\) obie nierówności są fałszywe, powinny być nieostre nierówności bądź inne ograniczenia: \(\displaystyle{ m>1, \ 1>|x|>0}\).

Skorzystanie z monotoniczności funkcji \(\displaystyle{ f(t)=t^{m}, \ m\in \NN^+}\) w liczbach rzeczywistych dodatnich poprzez podniesienie tych nierówności stronami do potęgi \(\displaystyle{ m}\) i kombinowanie z dwumianem Newtona jest dobrym pomysłem.
W ten sposób dostajemy dla \(\displaystyle{ 1>|x|>0, \ m\in \NN, \ m\ge 2}\) równoważną oszacowaniu tego pierwiastka z góry nierówność:
\(\displaystyle{ (*) \ (1+|x|)^{m}=1+|x|+\sum_{k=2}^{m}{m\choose k}|x|^{k}>1+|x|\ge 1+x}\)
która zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in\RR\setminus \left\{0\right\}}\).
Z drugiej strony dla \(\displaystyle{ |x|<1}\) mamy
\(\displaystyle{ (1-|x|)^{m}<1-|x|\Leftrightarrow \frac{1}{1-|x|}<\frac{1}{(1-|x|)^{m}} \Leftrightarrow 1+\frac{|x|}{1-|x|}<\left(1+\frac{|x|}{1-|x|}\right)^{m}}\)
a to jest po prostu nierówność \(\displaystyle{ (*)}\) ze wstawionym \(\displaystyle{ |x|:=\frac{|x|}{1-|x|}}\),
więc dostajemy
\(\displaystyle{ (1-|x|)^{m}<1-|x|\le 1+x}\), ostatnia nierówność jest już oczywista.


Oczywiście można by to skrócić kosztem powołania się na zachowanie pewnych funkcji, ale jeśli ktoś udowadnia coś tak prostego, to możliwe, że jest to niewskazane.

\(1-|x| \le \sqrt[m]{1-|x|} \le \sqrt[m]{1+x} \le\sqrt[m]{1+|x|} \le 1+|x|\)