Wykazać że liczba jest całkowita

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
bob1000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 352
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 162 razy

Wykazać że liczba jest całkowita

Post autor: bob1000 » 7 lis 2019, o 03:34

Wykazać, że liczba \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą całkowitą:
\(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{ \sqrt{6}+3 }- \sqrt[3]{ \sqrt{6} -3} }\)
Proszę o pomoc.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14373
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4726 razy

Re: Wykazać że liczba jest całkowita

Post autor: Premislav » 7 lis 2019, o 04:29

Nie jest to prawdą, liczba \(\displaystyle{ x}\) jest niewymierna.
Niech \(\displaystyle{ a=\sqrt[3]{\sqrt{6}+3}, \ b=\sqrt[3]{\sqrt{6}-3}}\). Wówczas mamy
\(\displaystyle{ x=a-b}\) oraz \(\displaystyle{ a^{3}-b^{3}=6}\), czyli
\(\displaystyle{ (a-b)\left((a-b)^{2}+3ab\right)=6\\x^{3}+3abx=6\\x^{3}-3\sqrt[3]{3}x=6\\6-x^{3}=3\sqrt[3]{-3}x}\)
Łatwo widać, że \(\displaystyle{ x\neq 0}\). Przypuśćmy dalej nie wprost, że \(\displaystyle{ x}\) jest niezerową liczbą niewymierną. Wówczas \(\displaystyle{ 6-x^{3}}\) jest wymierna, lecz \(\displaystyle{ 3\sqrt[3]{-3}x}\) jest liczbą niewymierną jako iloczyn niezerowej liczby wymiernej \(\displaystyle{ 3x}\) i liczby niewymiernej \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-3}}\). Sprzeczność.

Na pewno dobrze przepisałeś zadanie?

bob1000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 352
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 162 razy

Re: Wykazać że liczba jest całkowita

Post autor: bob1000 » 7 lis 2019, o 16:25

Masz rację Premislav. Dziękuję za pomoc.

Dodano po 21 godzinach 21 minutach 54 sekundach:
Nie ma może bardziej prostego dowodu? Nie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ 3ab=-3 \sqrt[3]{3} }\).

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14373
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4726 razy

Re: Wykazać że liczba jest całkowita

Post autor: Premislav » 11 lis 2019, o 01:18

Sorry, nie widziałem, że coś dopisałeś. Ten dowód jest tak na pałę, jak tylko się da i trudno o jeszcze prostszy, choć może czegoś nie widzę (oczywiście miało być „Przypuśćmy dalej nie wprost, że \(\displaystyle{ x}\) jest niezerową liczbą wymierną").
\(\displaystyle{ ab=\sqrt[3]{\sqrt{6}+3}\cdot \sqrt[3]{\sqrt{6}-3}=\sqrt[3]{\left(\sqrt{6}+3\right)\left(\sqrt{6}-3\right)}=\sqrt[3]{6-9}=\sqrt[3]{-3}=-\sqrt[3]{3}}\).

ODPOWIEDZ