Strona 1 z 1

Nierówność

: 1 lis 2019, o 13:26
autor: Elayne
Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą nieujemnymi liczbami rzeczywistymi. Udowodnić, że
\(\displaystyle{ (a + b + c)^3 + 4(a-b)(b-c)(c-a) \ge 27abc.}\)

Re: Nierówność

: 1 lis 2019, o 14:43
autor: bosa_Nike
Otrzymamy co trzeba, gdy dodamy stronami nierówności
$$\begin{aligned}\frac{1}{2}\left(a^3+ab^2\right)&\ge a^2b\\\frac{1}{2}\left(b^3+bc^2\right)&\ge b^2c\\ \frac{1}{2}\left(c^3+ca^2\right)&\ge c^2a\\ \frac{13}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)&\ge\frac{39}{2}abc\\ \frac{1}{2}\left(a^3+b^3+c^3\right)&\ge\frac{3}{2}abc\end{aligned}$$

Re: Nierówność

: 20 lis 2019, o 10:21
autor: Elayne
Wskazówka::