Nierówność

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 748
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 235 razy

Nierówność

Post autor: Elayne » 1 lis 2019, o 13:26

Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą nieujemnymi liczbami rzeczywistymi. Udowodnić, że
\(\displaystyle{ (a + b + c)^3 + 4(a-b)(b-c)(c-a) \ge 27abc.}\)
Ostatnio zmieniony 1 lis 2019, o 13:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1451
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 373 razy

Re: Nierówność

Post autor: bosa_Nike » 1 lis 2019, o 14:43

Otrzymamy co trzeba, gdy dodamy stronami nierówności
$$\begin{aligned}\frac{1}{2}\left(a^3+ab^2\right)&\ge a^2b\\\frac{1}{2}\left(b^3+bc^2\right)&\ge b^2c\\ \frac{1}{2}\left(c^3+ca^2\right)&\ge c^2a\\ \frac{13}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)&\ge\frac{39}{2}abc\\ \frac{1}{2}\left(a^3+b^3+c^3\right)&\ge\frac{3}{2}abc\end{aligned}$$

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 748
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 235 razy

Re: Nierówność

Post autor: Elayne » 20 lis 2019, o 10:21

Wskazówka::    

ODPOWIEDZ