Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą nieujemnymi liczbami rzeczywistymi. Udowodnić, że
\(\displaystyle{ (a + b + c)^3 + 4(a-b)(b-c)(c-a) \ge 27abc.}\)
Nierówność
-
- Użytkownik
- Posty: 926
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 274 razy
Nierówność
Ostatnio zmieniony 1 lis 2019, o 13:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Re: Nierówność
Otrzymamy co trzeba, gdy dodamy stronami nierówności
$$\begin{aligned}\frac{1}{2}\left(a^3+ab^2\right)&\ge a^2b\\\frac{1}{2}\left(b^3+bc^2\right)&\ge b^2c\\ \frac{1}{2}\left(c^3+ca^2\right)&\ge c^2a\\ \frac{13}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)&\ge\frac{39}{2}abc\\ \frac{1}{2}\left(a^3+b^3+c^3\right)&\ge\frac{3}{2}abc\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}\frac{1}{2}\left(a^3+ab^2\right)&\ge a^2b\\\frac{1}{2}\left(b^3+bc^2\right)&\ge b^2c\\ \frac{1}{2}\left(c^3+ca^2\right)&\ge c^2a\\ \frac{13}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)&\ge\frac{39}{2}abc\\ \frac{1}{2}\left(a^3+b^3+c^3\right)&\ge\frac{3}{2}abc\end{aligned}$$