Nierówność - iloczyn vs. pierwiastek

[Elayne]

Niech \(\displaystyle{ a \ge b \ge c \ge d}\) będą nieujemnymi liczbami rzeczywistymi takimi, że \(\displaystyle{ a + b + c + d = 1.}\) Udowodnić, że:
\(\displaystyle{ (a + c)(b + d) \ge \sqrt{ac(b + d) + bd(a + c)}}\)

[timon92]

skoro \(a\ge b\ge c\), to \((a-b)(b-c)\ge 0\), czyli że \(ac \le (a+c-b)b\)

w takim razie

\begin{align*}
\sqrt{ac(b+d)+bd(a+c)} &\le \sqrt{(a+c-b)b(b+d)+bd(a+c)} \\
&= \sqrt{b((a+c-b)(b+d)+d(a+c))}\\
&=\sqrt{b(a+b+c+d)((a+c-b)(b+d)+d(a+c))} \\
&\le \frac 12 (b(a+b+c+d)+(a+c-b)(b+d)+d(a+c)) \\
&= (a+c)(b+d)
\end{align*}