Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki https://matematyka.pl/
Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że \(\displaystyle{ a + b + c = 3.}\) Udowodnić, że: \(\displaystyle{ \dfrac{a+b}{b+c} + \dfrac{b+c}{c+a} + \dfrac{c+a}{a+b} \ge \dfrac{a^2 + b^2 + c^2 + 9}{4}}\)
Re: Nierówność [Pros]
: 14 paź 2019, o 01:58
autor: bosa_Nike
Możemy zacząć biorąc `a+b=x,\ b+c=y,\ c+a=z`. Wtedy mamy `a^2+b^2+c^2+9=a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2=x^2+y^2+z^2` oraz `x+y+z=6`, czyli $$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{4}$$ Po ujednorodnieniu $$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge\frac{9\left(x^2+y^2+z^2\right)}{(x+y+z)^2}$$
W tej chwili potrafię udowodnić tę ostatną nierówność dwoma sposobami, ale oba rozwiązania są dość długie i dość brzydkie. Jeżeli powyższe nie zainspiruje kogoś do wymyślenia jakiegoś ładnego dowodu, to w wolnej chwili ewentualnie napiszę swój.
Re: Nierówność [Pros]
: 15 paź 2019, o 00:19
autor: timon92
załóżmy, że \(\displaystyle{ z=\min(x,y,z)}\) i zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ (x+y+z)^2\ge6xy}\), to
AM-GM daje \(\displaystyle{ \frac yz + \frac{x+3z}{y} \ge 2\sqrt{\frac{x+3z}{z}} = 2\sqrt{3+\frac xz}}\)
wystarczy więc dowieść, że \(\displaystyle{ 3+\frac 4t+2\sqrt{3+t} \ge 9}\), gdzie \(\displaystyle{ t=\frac xz\ge 1}\)
okazuje się, że istotnie jest to prawda (i to nawet dla dowolnego \(\displaystyle{ t>0}\))
Re: Nierówność [Pros]
: 15 paź 2019, o 06:33
autor: bosa_Nike
Noice.
Ukryta treść:
Oba moje rozwiązania bazowały na wielomianach symetrycznych.
Pierwsze wykorzystuje fakt, dowodzony za pomocą rachunku różniczkowego, że gdy `x+y+z=1` (możemy unormować po swojemu nierówność jednorodną), to `\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge\frac{t^3+3t^2+3t+3}{t+1}`, gdzie `t=\sqrt{\frac{1-3(xy+yz+zx)}{xy+yz+zx}}`. Wówczas `x^2+y^2+z^2=\frac{t^2+1}{t^2+3}` i reszta jest formalnością.
Drugie sprowadza nierówność do równoważnej `(36q-21p^2)r+p^3q\ge p^2(x-y)(x-z)(y-z)`, gdzie `p=\sum x,\ q=\sum xy,\ r=xyz`, a ponieważ lewa strona jest nieujemna (malejąca funkcja zmiennej `r`, bo `p^2\ge 3q`, wystarczy więc sprawdzić nieujemność dla `y=x,\ z=1-2x`), to wprowadzamy porządek `x\ge y\ge z`, co nam zapewnia nieujemność prawej strony, podnosimy do kwadratu, co nam symetryzuje nierówność, czyli mamy ostatecznie $$9(13p^4-42p^2q+36q^2)r^2+p^3(p^4-15p^2q+18q^2)r+p^4q^3\ge 0$$
Po skorzystaniu z `q>0` i wprowadzeniu `u=\frac{p^2}{q}\ge 3` mamy $$9((u-3)(13u-12)+9u)r^2+p^3(u(u-15)+18)r+p^4q\ge 0$$
W szczególności, dla `u\ge 15` wszystkie współczynniki są nieujemne, więc nierówność jest prawdziwa, zaś gdy `15>u\ge 3`, wtedy $$\Delta_r=-\frac{p^4q}{4}(u-3)^2(4(15-u)(u-3)^2+3u^2+9(u-2)^2)\le 0$$